Cómo puede demostrar esto $\binom{n}{p}\equiv \left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor \pmod {p^2}$

Question

Mostrar que si $n \gt p \gt 0$: $$\binom{n}{p}\equiv \left\lfloor\dfrac{n}{p} \right\rfloor\pmod{ p^2}$$ donde $p$ es primo. y $$\binom{n}{p}=\dfrac{n!}{(n-p)!p!}$$ Este es el teorema? Verdadero o falso? Si es incorrecto, se puede encontrar $p$ el primer y el $n$ tal que $$\binom{n}{p}\equiv \ ? \mod {p^2}$$ Gracias a todos

Answer 1

Como dije en un comentario, una respuesta muy general es proporcionada por este artículo de Andrew Granville.

En este caso particular parece que nos han $$ \binom{n}{p} \equiv \binom{n_{0}}{p} + p \binom{n_{1}}{p}\pmod{p^{2}} $$ donde $$ n = n_{0} + n_{1} p^{2} + \dots. $$ es la descomposición de la $n$ base $p^{2}$.

Esto puede ser visto, como en Lucas teorema de la primera por el análisis de $$(1 + x)^{p^{2}} \pmod {p^{2}},$$ and then $$(1 + x)^{n} = (1+x)^{n_{0}} (1+x)^{p^{2} n_{1}} \cdots \pmod{p^{2}}.$$