Puedo hacer esto con el uso del teorema de Lagrange, pero mi profesor dice que su posible sin él. No puedo encontrar la manera de resolverlo. Todas las sugerencias se agradece.
Respuestas
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Bien, supongamos que el subgrupo es $G=\{1,a,b,c\}$, y su gran grupo de es $H=G\cup \{d,e,f\}$.
Ahora, ¿qué $ad$? No $1$, ya que el $a^{-1}\in G$$d\notin G$. No $a$, ya que el $d\neq 1$. No $b$ (resp. $c$) desde $a^{-1}b\in G$ (resp. $a^{-1}c\in G$). También no $d$, ya que el $a\neq 1$. Por lo tanto $ad\in \{e,f\}$. Por una lógica similar, $bd, cd\in \{e,f\}$. Por el principio del palomar, dos de ellos deben estar de acuerdo. Sin pérdida, supongamos $ad=e=bd$. Pero ahora$add^{-1}=bdd^{-1}$$a=b$, una contradicción.
Matt Samuel
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22587
Deje $H$ ser un hipotético subgrupo de orden 4 y supongamos $x\notin H$. A continuación, $xH$ no puede ser distinto de $H$ debido a que el grupo tiene sólo 7 elementos. Por lo tanto, hay $a,b\in H$ tal que $xa=b$. Pero, a continuación,$x=ba^{-1}\notin H$, contradiciendo la suposición de que $H$ es un subgrupo.
Nicky Hekster
Puntos
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Deje $G$ ser un grupo de orden $7$ $H$ a un subgrupo de orden $4$, decir $H=\{e,x,y,z\}$. Tome $a \in G-H$. Vamos a echar un vistazo a $ax$. Si este elemento podría pertenecer a $H$, entonces, desde la $x^{-1} \in H$, tendríamos $ax \cdot x^{-1}=a \in H$, que no es el caso. Por lo $ax \notin H$. Del mismo modo, $ay, az \notin H$. Por lo tanto el conjunto de $K=\{a,ax,ay,az\}$ es disjunta de a $H$. Pero ahora hemos construido $8$ elementos. Llegamos a la conclusión de que entre los elementos de $K$, debe haber dos iguales, digamos, por ejemplo,$a=ax$. Esto daría $x=e$, una contradicción. Del mismo modo, la igualdad de cualquier otro par de elementos de a $K$ llevaría a una contradicción.
