Demostrar que $\gcd{\left(\binom M1,\binom M2,\binom M3,\ldots,\binom Mn\right)}=1$ donde $M=\mathrm{lcm}(1,2,3,\ldots,n)$

Question

Deje $n$ ser un entero positivo y vamos a $$M=\mathrm{lcm}(1,2,3,\ldots,n).$$ Mostrar que $$\gcd{\left(\binom{M}{1},\binom{M}{2},\binom{M}{3},\ldots,\binom{M}{n}\right)}=1$$

Answer 1

SUGERENCIA: Suponga que $p$ es un primer dividiendo $M$, $p^k$ es el más alto poder de $p$ dividiendo $M$.

• Mostrar que $p^k\le n$.
• Mostrar que si $M=ap^k$, e $1\le n\le p^k$, $(a-1)p^k+n$ es divisible por el mismo de la potencia máxima de $p$$n$.
• A la conclusión de que $p$ no divide $\dbinom{M}{p^k}$.