¿Por qué es "más fácil" trabajar con campos de funciones que con campos numéricos algebraicos?

Question

Acabo de comprar un ejemplar del libro de Jürgen Neukirch Teoría algebraica de números. Mientras lo hojeaba encontré una sección titulada § 14. Campos de función en el capítulo I. En él, el autor describe algunos aspectos de una analogía entre campos de función y campos numéricos algebraicos .

Esto me llevó a googlear un rato y acabé leyendo la entrada de Wikipedia sobre Ámbito mundial . Y de aquí viene mi pregunta. En la última frase de esa entrada hay el siguiente pasaje, que me parece realmente interesante:

Suele ser más fácil trabajar en el caso del campo de funciones y luego intentar desarrollar técnicas paralelas en el lado del campo de números. El desarrollo de Teoría de Arakelov y su explotación por Gerd Faltings en su prueba de la Conjetura de Mordell es un ejemplo dramático.

Desgraciadamente, siendo tan dramático como es, el ejemplo mencionado no me dice nada porque ni siquiera la entrada de Wikipedia sobre Teoría Arakelov está de alguna manera cerca de dar siquiera una pequeña pista de lo que se trata.

Así que me gustaría pedir algunos visión y/o ejemplos que ilustran por qué se dice que es más fácil trabajar con campos de función que con campos numéricos algebraicos y luego intentar desarrollar técnicas paralelas para el caso del campo numérico.

Muchas gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Una respuesta es que podemos tomar derivadas formales. Por ejemplo, el último teorema de Fermat es bastante difícil pero la versión del campo de funciones es una consecuencia directa del Teorema de Mason-Stothers cuyo prueba elemental se basa fundamentalmente en la capacidad de tomar derivadas formales de polinomios.

No hay una forma obvia de extender esta construcción a los números enteros de forma que se preserven sus buenas propiedades. Si la hubiera, entonces la conjetura abc (de la que Mason-Stothers es la versión del campo de funciones) sería trivial, y no lo es. T derivada aritmética pero, por supuesto, no es lineal, y no me parece que sea muy fácil demostrar nada con ella.

El problema es que si queremos pensar en $\mathbb{Z}$ como análogo a un campo de funciones, entonces el "campo" sobre el que es un campo de funciones es el campo con un elemento por lo que si aquí existe una noción razonable de derivada formal no tiene por qué ser $\mathbb{Z}$ -lineal, sino ser $\mathbb{F}_1$ -lineal, signifique lo que signifique... si entendiéramos lo que significa, quizás podríamos construir la versión "correcta" de la derivada aritmética y presumiblemente demostrar la conjetura abc.

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La teoría de Arakelov aborda otra diferencia entre los campos de funciones y los campos de números, que es la existencia de Lugares arquimédicos . Sobre un campo de funciones todos los lugares son no arquimedianos y entiendo que esto facilita varias cosas, pero no sé mucho de esto así que alguien más debería intervenir aquí.

Answer 2

La razón principal por la que la aritmética de campos de funciones es más sencilla que la aritmética de campos de números se debe a la existencia de derivaciones no triviales. Con la disponibilidad de derivadas muchas cosas se simplifican.

Por ejemplo, en el caso de los polinomios, las derivadas dan lugar a algoritmos sencillos para la prueba cuadrada, la parte cuadrada, etc. Esto contrasta con el caso de los números enteros. Actualmente no se conoce ningún algoritmo factible (en tiempo polinómico) para reconocer los enteros libres de cuadrados o para calcular la parte libre de cuadrados de un entero. De hecho, puede darse el caso de que este problema no es más fácil que el problema general de la factorización de enteros. Este problema es importante porque una de las principales tareas de la teoría algebraica computacional de números se reduce a él (en tiempo polinómico determinista). A saber, el problema de calcular el anillo de enteros de un campo de números algebraicos depende de la descomposición sin cuadrados del discriminante polinómico al calcular una base integral.

De los derivados también proceden Wronskians y medidas de independencia asociadas (extracto a continuación). Por ejemplo, esto es lo que está en el corazón de la prueba trivial de nivel de bachillerato de Mason del teorema ABC para polinomios - que es un problema abierto importante difícil para los números. Del teorema de Mason se deduce inmediatamente una trivial de dos líneas prueba de FLT para polinomios. Si existiera algún tipo de "derivada para números enteros" análoga que diera lugar al correspondiente teorema ABC, entonces daría lugar a una prueba trivial análoga de la FLT para números enteros (más exactamente, daría lugar a la FLT asintótica, es decir, a la FLT para todos los exponentes suficientemente grandes).

Tales observaciones han motivado la búsqueda de "análogos aritméticos de las derivaciones". Por ejemplo, véase el artículo de Buium con ese nombre en Jnl. Algebra, 198, 1997, 290-99, y véase su libro Ecuaciones diferenciales aritméticas.

poly FLT, teorema abc, formalismo wronskiano [was: Soluciones enteras de f^2+g^2=1] Publicado: Jul 17, 1996 12:13 AM
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"Harold P. Boas" escribió a sci.math.research el 7/3/96:

Robert Israel escribió:

> Alan Horwitz escribe: Estoy interesado en todas las soluciones enteras f y g de f^2+g^2=1.
Recuerdo haber visto esto en alguna parte, pero no recuerdo dónde.

> Yo también he visto esto antes, de hecho recuerdo haberlo asignado como tarea... :> a una de mis clases, pero no recuerdo la fuente. Las soluciones son ... :

Robert B. Burckel ofrece algunos antecedentes sobre este problema en su

libro completo An Introduction to Classical Complex Analysis, volumen 1 (Academic Press, 1979). En el teorema 12.20, páginas 433-435,

demuestra que la ecuación f^n+g^n=1 no tiene enteros no constantes

soluciones cuando el número entero n es superior a 2; cuando n=2, la solución

es la que da R. Israel en su post. ... (documentos de Fred Gross)

Obsérvese que el caso de la función racional de FLT se deduce trivialmente de teorema abc de Mason, por ejemplo, véase Lang's Algebra, 3ª Ed. p. 195 para una p. 195 para una breve demostración elemental (nivel de bachillerato) de ambos. Chebyshev también dio una prueba de FLT para poli's vía la teoría de integración en términos finitos, por ejemplo, véase la pág. 145 de "Solved and Unsolved Problems in Number Theory" de Shanks, o "Integration in Finite Terms" de Ritt, p. 37. El resultado de Chebyshev se emplea en realidad como una subrutina del algoritmo de integración de Macsyma de Macsyma (implementado hace décadas por Joel Moses). A través de abc también se demuestra fácilmente un resultado relacionado de Dwork: si A,B,C son polígonos fijos entonces todas las soluciones coprime poly de A X^a+B Y^b+C*Z^c = 0 tienen grados acotados siempre que 1/a+1/b+1/c < 1. Otras aplicaciones tanto en el campo de los números como en el de las funciones pueden encontrarse en el estudio de Lang [3].

El teorema abc de Mason puede verse como un caso muy especial de una estimación wronskiana: en la demostración de Lang, la correspondiente Wronskiana correspondiente es c^3*W(a,b,c) = W(W(a,c),W(b,c)), por lo que si a,b,c son linealmente dependientes entonces también lo son W(a,c),W(b,c); los límites buscados se obtienen multiplicando esta última relación de dependencia por N0 = r(a)*r(b)*r(c), donde r(x) = x/gcd(x,x').

Estimaciones wronskianas más potentes con aplicaciones a la aproximación diofántica de soluciones de LDEs se pueden encontrar en el trabajo de los Chudnovsky 1 y C. Osgood 2 . Las referencias a trabajos recientes pueden encontrarse (como de costumbre) siguiendo las citas de MR en la base de datos MathSci.

No he visto que se mencione esta visión Wronskiana del teorema abc de Mason. Aunque elemental, merece atención ya que conecta el teorema abc con el punto de vista unificado general del formalismo Wronskiano propuesto por Chudnovsky y otros.

1 Chudnovsky, D. V.; Chudnovsky, G. V. The Wronskian formalism for linear differential equations and Pade approximations. Adv. in Math. 53 (1984), no. 1, 28--54. 86i:11038 11J91 11J99 34A30 41A21

2 Osgood, Charles F. Límites Thue-Siegel-Roth-Schmidt-Nevanlinna a veces efectivos, o mejores. J. Number Theory 21 (1985), no. 3, 347--389. 87f:11046 11J61 12H05

[3] Lang, Serge Desigualdades diofantinas conjeturadas antiguas y nuevas. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 23 (1990), no. 1, 37--75. 90k:11032 11D75 11-02 11D72 11J25

Answer 3

Veamos un ejemplo para entender por qué los campos de función son más sencillos:

Sea $q$ sea un primo y consideremos el campo de funciones global, $\mathbb F_q(T)$ . Un ideal $\mathfrak a$ de $\mathbb F_q[T]$ es sólo el ideal principal $\mathfrak a=(f)=(T^d+a_{d-1}T^{d-1}+\dots+a_0)$ . La norma $N\mathfrak a=q^d$ y se puede ver que hay exactamente $q^d$ ideales de norma $q^d$ .

Entonces la función zeta sobre este campo es $$\zeta_{\mathbb F_q[T]}(s)=\sum_{\mathfrak a \neq 0}N\mathfrak a^{-s}=\sum_{d=0}^\infty q^d(q^d)^{-s}=1/(1-q^{1-s})$$

Es una expresión muy simple para la función zeta. Nótese que no tiene ceros, por lo que satisface trivialmente la Hipótesis de Riemann.

Answer 4

En la teoría de números uno está interesado en contar diferentes objetos que tienen significado aritmético. Cuando se trabaja sobre campos de funciones, este problema suele traducirse en contar puntos de una variedad algebraica sobre un campo finito. Se dispone entonces de una serie de técnicas para estudiar dichos números, la más importante de las cuales es la cohomología l-ádica. Por ejemplo, las integrales orbitales consisten en contar ciertos conjuntos finitos aritméticamente significativos. Sobre campos globales, estos problemas se traducen en recuentos de puntos sobre variantes de fibras afines de Springer. Este es el punto de partida de la demostración del lema fundamental de Ngo.

Answer 5

He aquí un aspecto de la diferencia en la teoría de Arakelov: en el caso del campo numérico tenemos una fórmula de Riemann-Roch "ingenua": $$ \chi(\alpha)=-\log \textrm{Vol}(\alpha) $$ donde $\alpha$ es un divisor de Arakelov en $K$ . Utilizando la fórmula explícita para $\textrm{Vol}(\alpha)$ podemos reescribirlo como $$ \chi(\alpha)-\chi(O_{K})=\deg(\alpha) $$ Y utilizando la fórmula sumatoria de Poisson, tenemos puede definir $h^{0}(\alpha), h^{1}(\alpha)$ tal que $$ h^{0}(\alpha)=\log(\sum_{f\in I}e^{-\pi|f|_{\alpha}^{2}}), h^{1}(\alpha)=h^{0}(K-\alpha), h^{0}-h^{1}=\deg(\alpha)-\frac{1}{2}|\Delta| $$ Pero la construcción correspondiente en el caso del campo funcional es radicalmente distinta. Como sabemos por el teorema de Hodge: $$ H^{1}(X, L)\cong \ker \Delta^{0,1}(L) $$ y en particular su número es un entero no negativo. Formalmente tenemos un análogo Fórmula McKean-Singer : $$ \chi(X,L)=Tr(e^{-D^{*}D})-Tr(e^{-DD^{*}}) $$ Pero la analogía no es perfecta: Aunque ambas fórmulas están relacionadas con la traza del núcleo de calor procedente de un operador de Dirac $D$ parece que no hay una buena manera de interpretar $h^{0}(\alpha)$ como la dimensión del núcleo de algún operador lineal debido a la presencia del $\log$ término en la parte delantera. Del mismo modo, otros enfoques de Riemann-Roch en el caso del campo numérico y el caso del campo funcional se derrumban: No existe un buen análogo de la cohomología del functor derivado que defina $H^{0}, H^{1}$ en el caso del campo numérico. La mejor analogía que tenemos para la cohomología de Cech es la teoría de los espacios fantasma, y ni siquiera es un grupo. Por otra parte, trasladar la maquinaria de los espacios fantasma al caso de los campos de funciones tampoco es fácil. Así, la correspondencia de las teorías de cohomología más comunes (de Rham, Cech, functor derivado, singular/betti) entre los dos mundos se rompe bastante. El caso del campo funcional es "infinitamente mejor" debido a cierto nivel de suavidad que el campo numérico.

Más bien, la analogía viene de otros lugares : Recordemos que tenemos el teorema de la singularidad de Riemann :

Sea $C$ sea una curva suave de género $g$ entonces para cada divisor efectivo de grado $g-1$ : $$ \textrm{multi}_{\mu(D)+K}(\Theta)=h^{0}(C,O(D)) $$

Van Der Geer y Rene Schoof consideraron esto como su motivación para el Riemann-Roch en el caso del campo numérico (véase la página 7, por ejemplo). Personalmente creo que lo realmente notable es que la analogía persiste incluso en el caso de la superficie aritmética, que tenemos el volumen de Faltings en el determinante de la cohomología definida por el pull-back de la métrica del haz de líneas $O_{J}(-\Theta)$ . Aunque no existe un análogo de dimensiones superiores de este hecho en la teoría de Arakelov (tenemos que sustituir el volumen de Faltings por la métrica de Quillen utilizando la torsión analítica), esto sugiere, sin embargo, un papel muy profundo y sutble desempeñado por $\theta$ tanto en el caso del campo numérico como en el del campo funcional.