¿Cómo se puede "simplificar" el sigma signo cuando es elevado a una potencia?

Question

¿Cómo se puede simplificar la siguiente expresión:

$$\left(\sum^{n}_{k=1}k \right)^2$$

Se supone que debo mostrar que

$$\left(\sum^{n}_{k=1}k \right)^2 = \sum^{n}_{k=1}k^{3} $$

El problema es que no sé muy bien cómo manipular el sigma signo. Yo sé que (probablemente) la necesidad de utilizar la inducción de alguna manera, pero la pregunta principal es ¿cómo se puede "simplificar" el sigma signo cuando es elevado a una potencia. Debido a que el problema en sí yo sé que (lo más probable); $$\left(\sum^{n}_{k=1}k \right)^2 = \sum^{n}_{k=1}k^{3} $$ de modo que es posible manipular el lado izquierdo, por lo que parece la RHS?

Answer 1

$$\left(\sum_{k=1}^{n+1}k\right)^2-\left(\sum_{k=1}^{n}k\right)^2=\left(\sum_{k=1}^{n+1}k-\sum_{k=1}^{n}k\right)\left(\sum_{k=1}^{n+1}k+\sum_{k=1}^{n}k\right)$$

$$=(n+1)\left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}+\frac{(n+1)(n)}{2}\right)=(n+1)^3$$

Supongo que se le puede hacer el resto ahora, puesto que ya se ha resuelto que usted necesita para utilizar la inducción.

Answer 2

Esta identidad es una casualidad, no es probada por la generales de la serie de manipulaciones, sino que simplemente la informática de la mano izquierda y la derecha lados y confirmar que son iguales.

Answer 3

$$\begin{align} \sum^{n}_{k=1}k&=\frac{n(n+1)}{2}\\ \left(\sum^{n}_{k=1}k\right)^2&=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\\ \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2&=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\\ \sum^{n}_{k=1}k^3&=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\\ \therefore \left(\sum^{n}_{k=1}k\right)^2&=\sum^{n}_{k=1}k^3 \end{align} $$