Son vectores de la base imaginaria de la relatividad especial?

Question

Suena absurdo, pero parece venir de forma natural:

Sé que $g_{\mu \nu }=e_\mu \cdot e_\nu $ (fuente)

y que los elementos de la diagonal de a $\eta_{\mu \nu}$ son típicamente $\pm(1, -1, -1, -1)$.

Esto parece muy sugieren claramente que los vectores de la base correspondiente a la negativa de la métrica de los componentes podría ser $(0, i, 0, 0)$ o similar.

Si estos no son los vectores de la base en el SR, me gustaría preguntar:

1. ¿Cuáles son los vectores de la base, entonces? (por supuesto, son variables, pero ¿qué sería de una base Cartesiana?)

2) Si $g_{\mu \nu }=e_\mu \cdot e_\nu $ no se cumple para los vectores, ¿por qué no?

Answer 1

Los vectores de la base son exactamente lo que usted esperaría, $$(1, 0, 0, 0), \quad (0, 1, 0, 0), \quad (0, 0, 1, 0), \quad (0, 0, 0, 1).$$ Sin embargo, el interior del producto, es decir, la forma en que se combinan dos vectores en un número, no es el mismo como el producto escalar usual. Mediante su notación, estamos cambiando la definición de $\cdot$, no es la definición de la $e_{\mu}$.

Estás en lo correcto de que es posible seguir trabajando con el producto escalar formalmente si definimos algunos de los vectores de la base a tener imaginario de los componentes. Eso es lo que había hecho en el pasado, pero es una mala idea: el tiempo y longitudes no sólo son números complejos. Ellos están perfectamente real, por lo que mudarse a un complejo espacio vectorial no hace sentido físico. (Por otra parte, el departamento de transporte del producto en sí no es natural en un espacio vectorial complejo, donde la Hermitian interior producto se adapta mejor).

Answer 2

Existen varios enfoques de esta cuestión. Hace mucho tiempo que la gente hizo uso el hack de hacer algunos de los vectores de la base del complejo, en un intento de que las cosas se vean "más natural". Pero esta realidad no resolver cualquier problema que vale la pena resolver: de hecho lo hace peor.

Si usted quería tratar el sistema métrico, como corresponde a un producto interior, entonces debe hacerlo. En particular, para un espacio vectorial sobre cualquier campo tenemos $\langle \vec{u},\vec{u}\rangle \ge 0$ con la igualdad sólo al $\vec{u}=\vec{0}$. Esto es verdad para un espacio vectorial sobre $\mathbb{C}$ ya que es una más de $\mathbb{R}$.

Pero esto simplemente no es cierto para la métrica de la relatividad: la totalidad de la estructura de la cosa descansa en su ser null vectores: los vectores que son no de cero, pero cuyo 'de largo' son cero. No hay manera de salir de este problema, aparte de darse cuenta de que la métrica de la relatividad no se corresponde con un producto interior, porque no es positiva definida.

Siendo ese el caso, es mucho más sencillo abandonar cualquier chapucero de participación de los números complejos, y a aceptar la métrica como lo que es: no es en realidad una métrica en absoluto, sino algo que tiene todas las propiedades de una métrica excepto positivo de la certeza.

(Una versión anterior de este llamado 'un pseudometric', pero como ha señalado John Davis en un comentario, no es ni eso: un pseudometric es no negativa, pero puede ser cero para los distintos vectores.)