¿Cuál es la lógica matemática?

Question

Lo que hace de la lógica matemática significa?

En el libro de Análisis de 1 por Terence Tao, que dice:

El propósito de este anexo es dar una rápida introducción a la lógica matemática, que es el idioma que utiliza para llevar a cabo riguroso pruebas matemáticas.

La Comprobación De La Wikipedia:

La lógica matemática es a menudo dividida en los campos de la teoría de conjuntos, el modelo de la teoría, la teoría de la recursividad, y la prueba de la teoría.

Esto parece completamente diferente de la definición. Por qué, por ejemplo, es la teoría de conjuntos se consideran parte de la lógica?

Answer 1

La lógica matemática es una extraña bestia.

Es perfectamente normal rama de las matemáticas cuyo objetivo es ... para el estudio de las propias matemáticas.

Por lo tanto, las diferentes ramas de la lógica matemática se dedica al estudio de algunos de los bloques de construcción básicos de la práctica de matemáticas : el lenguaje, el modelo, la prueba, el cálculo.

Answer 2

Los nombres y los ámbitos de las áreas de las matemáticas no siempre están claramente delineadas. En este caso la teoría de conjuntos es un poco de un área gris. Hay un argumento para considerar que es parte de la cuestión más general de la lógica matemática, pero hay muchos teóricos que no se consideran a sí mismos los lógicos.

Del mismo modo, si la teoría de la recursividad es parte de la lógica o la ciencia de la computación depende de a quién le preguntes.

Dicho esto, las dos descripciones no están en conflicto. Los cuatro subcampos que listas de Wikipedia están todos los ingredientes en el estudio de "lo que una rigurosa prueba es" y lo pruebas rigurosas que puede y no puede lograr.

Prueba de la teoría y el modelo de la teoría ambos son sin duda parte de la lógica.

La teoría de conjuntos es parte del lenguaje común de pruebas de matemáticas, es utilizado como una manera general para hablar de las cosas de interés real en cualquiera que sea tu campo. Averiguar las reglas apropiadas de cómo la teoría de conjuntos puede ser utilizado, por tanto, (posiblemente!) pertenece como parte del estudio de las características comunes de pruebas de matemáticas en general.

La teoría de la recursividad es el estudio de la mecánica de cálculo, y es, además de ser el fundamento para las ciencias de la computación, y una importante herramienta técnica para la demostración del famoso resultados de la prueba de la teoría, como Gödel del teorema de la incompletitud.

Answer 3

La lógica matemática significa muchas cosas, dependiendo del contexto. En particular, se incluyen dos áreas de estudio:

1. El uso de matemáticas para el estudio de la "lógica" de temas tales como pruebas, modelos, computabilidad y conjuntos.

2. El uso de esas lógicas de temas para el estudio de las matemáticas.

La cita del Tao sólo roza la superficie de la lógica matemática. Es análogo a la llamada de los hechos elementales sobre conjuntos en el comienzo de un libro de texto "teoría de conjuntos", cuando el verdadero estudio de la teoría de conjuntos es mucho más profundo.

La razón por la que la lógica se divide en "la prueba de la teoría, el modelo de la teoría, de la computabilidad teoría, y la teoría de conjuntos", es histórica, es decir, no se basa en ningún tipo de argumento riguroso. Estas cuatro áreas se desarrollaron durante un periodo de tiempo similar, y todos fueron inicialmente motivados por ciertas cuestiones fundamentales en matemáticas. Algunas de estas áreas y sus subáreas todavía están estrechamente vinculados a los fundamentos de las matemáticas, mientras que otros son menos estrechamente conectados.

A lo largo del tiempo, como "lógica" se convirtió en su propio subcampo de las matemáticas, estos temas se hizo más y más fijas como "lógica". El Manual de la Lógica Matemática en 1977 se cristalizó esta división en cuatro zonas.

Otra característica común de las cuatro áreas es un enfoque en los lenguajes formales y formales definability. Esto no es común en otras áreas de las matemáticas, donde sólo el lenguaje natural se utiliza normalmente.

Las cuatro partes, sin embargo, no pretende ser exhaustiva. Partes de la categoría de la teoría están estrechamente relacionados en espíritu a las otras áreas de la lógica, aunque categoría de la teoría no es una de las cuatro áreas. Algunas áreas del modelo de la teoría son mucho más "matemática" que en otras zonas de la lógica matemática. De manera que toda la idea de la división de "lógica" en cuatro partes tiene que ser tomado con un grano de sal.

Answer 4

La lógica es que generalmente se entiende el estudio de sonido de razonamiento. La lógica matemática en el sentido de Tao utiliza esta palabra es el tipo de lógica que uno utiliza a la hora de hacer matemáticas. Esto incluye el tratamiento de las conectivas lógicas (tales como "y", "o", "si", y "si y sólo si"), cuantificadores ("para todo" y "existe"), las variables, y de las pruebas.

Pero, como a veces ocurre en las lenguas naturales, una y la misma palabra puede tener dos (o más) diferentes (aunque a veces) de los significados. Esta podría ser la causa de su confusión. De hecho, la lógica matemática también puede significar la rama de las matemáticas que se ocupa de fórmulas, teorías, pruebas, modelos, ... como los objetos matemáticos. Por supuesto, como todas las otras ramas de las matemáticas hacer, esta rama de las matemáticas también utiliza la lógica matemática en el antiguo sentido.

La razón por la que algunas personas consideran a la teoría de conjuntos como un subcampo de la lógica matemática$^*$ en el último sentido es que estos campos son históricamente muy relacionados. Usted puede estar interesado en aprender acerca de la fundamental de la crisis. He encontrado una charla dada por el matemático Chaitin que da una buena visión general sobre este tema: ver Parte 1, Parte 2, Parte 3, Parte 4.

Por cierto, el apéndice sobre la lógica se incluye en la muestra de los capítulos del Tao del libro.

$^*$ , Pero al final del día esto es sólo un termininological convención.

EDIT: Esta respuesta es sólo una reafirmación de Henry comentario:

Terence Tao de la página 31 apéndice es realmente una descripción de la lengua básica y herramientas de prueba matemática para ayudar a entender el resto de los Análisis me libro, en lugar de la más profunda tema de la lógica matemática. Las secciones se denominan: de los enunciados Matemáticos; Implicación; La estructura de las pruebas; las Variables y cuantificadores; cuantificadores Anidados; Algunos ejemplos de pruebas y cuantificadores; la Igualdad.

Answer 5

La lógica matemática implica tres pasos:

1. Axiomas: "Vamos a estar de acuerdo con el hecho de que esta propiedad esencial es cierto. Y todos vamos a considerar es cierto por el bien de la construcción de estos matemáticas.".
2. Definiciones: "Vamos a definir estos objetos matemáticos $\mathbb{O}$ como aquellos con estas propiedades axiomáticas" se define en 1), y vamos todos hasta cierto punto de acuerdo por el bien de trabajar juntos.
3. Para el objeto definido en el punto 2) $\mathbb{O}$, vamos a ver lo mucho que se obtiene utilizando el hecho de que "$\mathcal{P}_1 \overset{logic}{\Longrightarrow} \mathcal{P}_2$", donde $\mathcal{P}_1 $ es una propiedad de $\mathbb{O}$ da en 2).

Aquí $\overset{logic}{\Longrightarrow}$ es el razonamiento que conduce a la propiedad$\mathcal{P}_2$, argumentando diciendo:

"Si $\mathbb{O}$ verifica $\mathcal{P}_2$, entonces estamos negando el hecho de que $\mathbb{O}$ verifica $\mathcal{P_1}$. Pero nosotros todos están de acuerdo en el hecho de que $\mathcal{P_1}$ mantiene, así que vamos a decir $\mathcal{P_2}$ no espera". O "$\mathbb{O}$ verifica $\mathcal{P}_2$, y que este hecho no entra en conflicto con el hecho de que $\mathcal{P}_1$ es verdad, así que vamos a decir $\mathbb{O}$ verifica $\mathcal{P}_2$".