¿Por qué Wolfram Alpha dice que las raíces de un cúbico implican raíces cuadradas de números negativos, cuando las tres raíces son reales?

Question

¿Puede alguien explicar la respuesta de Wolfram Alpha a la ecuación $x^3-3x-1=0$ ? Las raíces son reales y el propio gráfico Wolfram las muestra (son aproximadamente iguales a $-1.5321, -0.3473$ y $1.8794$ ). Sin embargo, las raíces dadas explícitamente por Wolfram parecen no ser reales.

Answer 1

Este es un ejemplo de la casus irreducibilis Las fórmulas para resolver cúbicos necesitan números complejos cuando el cúbico tiene tres raíces reales.

Answer 2

Cuando el discriminante de la ecuación es negativo, hay $3$ raíces reales. Es precisamente en este caso que las fórmulas de Cardano no funcionan, porque los radicandos son negativos.

Incluso históricamente es la razón por la que se introdujeron las raíces cuadradas de los números negativos: las fórmulas pasan a ser válidas en todos los casos.

Answer 3

Por su interés, la representación real de las raíces viene dada por

$$x_k=2\cos\left(\frac\pi9+\frac{2\pi k}3\right)\qquad k=0,1,2$$

Estas representaciones trigonométricas siempre me parecen más bonitas.

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Esto viene directamente de la siguiente identidad:

$$\cos(3a)=4\cos^3(a)-3\cos(a)$$

$$\cos(3\arccos(a))=4a^3-3a$$

Y por último el hecho de que el coseno es periódico.

Answer 4

Resolución de la ecuación $x^3-3x-1=0$ con CAS Maxima gratis: