¿Cómo calcular este área?

Question

Calcular el área de $$S:=\lbrace (x,y,z)\in\mathbb{R}^3: y^2+(z-x^2)^2=x^2-1\rbrace$$

Alguien tiene una idea? He intentado utilizar las coordenadas cilíndricas, pero nada.

Bueno, tengo algo, pero no estoy muy seguro... Ok:

Tenemos la superficie de la $$y^2+(z-x^2)^2=x^2-1 \Rightarrow (z-x^2)^2=x^2-1-y^2$$ $$\Rightarrow z-x^2=\sqrt{x^2-1-y^2} \Rightarrow z(x,y) = \sqrt{x^2-1-y^2}+x^2$$

Ahora ponemos un poco de reestriction en z. Tenemos dos casos:

$$S^{-} = \lbrace C \cap \lbrace z<x^2\rbrace \rbrace$$ $$S^{+} = \lbrace C \cap \lbrace z>x^2\rbrace \rbrace$$

Vamos a trabajar en la $S^{+}$. El uso de la polar parametrización $x=rcos(\theta)$ e $y=rsin(\theta)$ tenemos:

$$z(\theta, r) = \sqrt{r^2cos(2\theta)-1}+r^2cos^2 (\theta)$$ Donde tenemos 2 restricciones: $r>1$ $r^2cos(\theta)>1$ (en busca de la raíz). Así podemos calcular los límites de integración.

Y tenemos el vector: $$\gamma(\theta, r) = (rcos(\theta), rsin(\theta), z(\theta, t))$$ Por lo tanto, sólo es necesario utilizar la ecuación de área $$\int \int \left| \frac{\partial\gamma}{\partial \theta}\times \frac{\partial\gamma}{\partial r}\right|d\theta dr$$

Answer 1

Revisar la definición de una superficie lisa podemos formar una suma de Riemann para una función acotada $f$ definida en todos los puntos de una superficie de área finita en $\mathbb R^3$. La zona, como se señaló anteriormente, parece ser infinito, así como @Greg dijo: no creo que la superficie se convierte en finita.

Answer 2

La ecuación dada se simplifica a $x = (z^4+y^2+1)/2z^2$. Cada $(y,z)$ $z\ne0$, hay un único valor de $x$ tal que $(x,y,z)$ está en la superficie. Además, este sistema de $x$ es ilimitada. Estoy bastante seguro de que la superficie será infinita.