Probar si una integral es positiva, negativa o cero

Question

Encuentre $$\text{sgn}\left[\int_0^{2\pi} e^{-2014x^2}\sin(x) \, dx\right]$$ Fuente: TCU Calculus Bee 2014 (Celebrado hace 8 meses) Por lógica porque el $\displaystyle\int_0^\pi \sin(x)\,dx=-\int_\pi^{2\pi} \sin(x)\,dx$ y la exponencial es menor en el intervalo $[\pi,2\pi]$ el área de la 2ª parte se minimiza, haciéndola positiva.

¿Puede alguien aportar una prueba más rigurosa de la respuesta?

Answer 1

Dividimos la integral en las partes donde $\sin x\geq 0$ y $\sin x\leq 0$ , $$\int_0^{2\pi}e^{-2014x^2}\sin x\, dx = \int_0^{\pi}e^{-2014x^2}\sin x\, dx + \int_\pi^{2\pi}e^{-2014x^2}\sin x\, dx.$$ En la segunda integral hacemos el cambio de variables $t=x-\pi$ , para conseguir $$\int_\pi^{2\pi}e^{-2014x^2}\sin x\, dx = \int_0^{\pi}e^{-2014(t+\pi)^2}\sin (t+\pi)\, dt$$ Desde $\sin(t+\pi)=-\sin(t)$ podemos escribir la integral como (volvemos a la variable $x$ de nuevo) $$\int_0^\pi(e^{-2014x^2}-e^{-2014(x+\pi)^2})\sin x\, dx.$$ ¿Puedes conseguir la señal desde aquí?

Answer 2

Bueno, lo siguiente es más riguroso, pero es esencialmente la misma respuesta:

Tenemos

$\begin{align} I&=\int_0^{2\pi} e^{-2014x^2}\sin(x) \, dx \\&=\int_0^{\pi} e^{-2014x^2}\sin(x)\,dx+\int_\pi^{2\pi} e^{-2014x^2}\sin(x)\,dx \\&=\int_0^{\pi} e^{-2014x^2}\sin(x)\,dx-\int_\pi^{0} e^{-2014(2\pi-x)^2}\sin(2\pi-x)\,dx \\&=\int_0^{\pi} e^{-2014x^2}\sin(x)\,dx+\int_0^{\pi} e^{-2014(2\pi-x)^2}\sin(2\pi-x)\,dx \\&=\int_0^{\pi} e^{-2014x^2}\sin(x)\,dx-\int_0^{\pi} e^{-2014(2\pi-x)^2}\sin(x)\,dx \\&=\int_0^{\pi} \left(e^{-2014x^2}-e^{-2014(2\pi-x)^2}\right)\sin(x)\,dx \end{align}$

y como $2\pi-x> x$ en el intervalo $[0,\pi)$ tenemos $2014x^2<2014(2\pi-x)^2$ y así $e^{-2014x^2}> e^{-2014(2\pi-x)^2}$ para este intervalo, y finalmente como el valor del seno es positivo para este intervalo, tenemos

$$\int_0^{2\pi} e^{-2014x^2}\sin(x) \, dx=\int_0^{\pi} \left(e^{-2014x^2}-e^{-2014(2\pi-x)^2}\right)\sin(x)\,dx>0$$