Ejemplos de Diophantine ecuaciones con un gran número finito de soluciones

Question

Me pregunto, si hay ejemplos de Diophantine ecuaciones o sistemas de tales ecuaciones con coeficientes enteros de montaje en un par de líneas que han demostrado tener un finito, pero realmente enorme número de soluciones?

Están allí con tan gran número de soluciones que no podemos escribir cualquier explícita límite superior para este número con Conway encadenado flecha notación?

Actualización: yo también estoy interesado en ecuaciones con pocas soluciones, pero donde un valor en una solución es muy grande en sí mismo.

Answer 1

Creo que la respuesta aproximada a la pregunta es que "no hay ninguna naturales tales ecuaciones." Permítanme tratar de justificar esta heurística.

Caporaso, Harris, Mazur; y Baker método: Considere la posibilidad de diophantine ecuaciones correspondientes a las curvas, por ejemplo las ecuaciones de la forma:

$$C: f(x,y) = 0$$

donde $f(x,y)$ es un polinomio con coeficientes enteros. Uno sabe que el número de soluciones (con $x$ y $y$ en $\mathbf{Z}$ o $\mathbf{P}$) - - - hasta cierto punto --- determinada por la geometría compleja de $C$. Si el género de $g$ de $C$ es mayor que dos, entonces Faltings demostrado que $C$ tiene sólo un número finito de puntos racionales. Sin embargo, mucho más (puede) ser verdad. Suponiendo que una conjetura de Lang, que fue demostrado por Caporaso, Harris, y Mazur (J. Amer. De matemáticas. Soc. 10 (1997), 1-35) que el número de puntos racionales de $\#C(\mathbf{Q})$ es limitada por una función $A(g)$ que sólo depende de $g$, no en $C$. Esto no prueba que $(2)$ [por ejemplo] no es enorme, pero todos los conocidos límites inferiores en $g \ge 2$ en el número de puntos racionales son en la mayoría de polinomio. Por ejemplo, creo que el mayor número de puntos racionales en un género de dos curvas que nunca se ha encontrado tiene más de un par de cientos de puntos racionales. Desde que el género es controlada por el grado de $f$, esto sugiere que es muy raro encontrar una ecuación con los pequeños y los coeficientes de grado que no tiene absolutamente masiva de soluciones, incluso si uno hace los coeficientes grande. Tenga en cuenta que esta es sólo una heurística, pero se sugiere que no hay ningún tipo de ecuaciones. Ciertamente dice que no hay tales ecuaciones se conocen actualmente.

Uno es un poco mejor forma (o peor, dependiendo de lo que estamos tratando de hacer) si se restringe a la integral de puntos de $C$. Para ciertas clases de ecuaciones (por ejemplo, de $F(x,y) = m$ para homogénea $F$) no son de límites explícitos en el número de soluciones integrales en términos de los coeficientes procedentes de Baker del teorema (on lineal de las formas en logaritmos). Los límites no son grandes (quizás super-super exponencial de los coeficientes), pero que sin duda impide que los números de el tamaño que usted está interesado derivadas de cualquier cosa que uno puede sensatez escribir. Por otra parte, uno conjecturally espera que Baker límites no son óptimas.

Por género, 1 y 0, la situación es similar. No hay diferencia aquí de nuevo entre si se quiere considerar solamente integral de soluciones o soluciones racionales, pero el resultado (en cualquier caso) es que si uno insiste en que no hay sólo un número finito de soluciones, ya sea enteros o racionales), entonces existe un límite para el más grande de la solución en términos de los coeficientes (la cual, a través de Baker método integral puntos, podría ser muy grande, pero todavía es muy pequeño en comparación con los números que están discutiendo).

Moraleja: Si uno asume Lang conjetura (y, ciertamente, no tienen ninguna prueba de que es falso), todavía hay heurística evidencia para sugerir que el de los tipos de ecuaciones que usted está buscando no existe, para las curvas o de dimensiones superiores variedades: esto es muy especulativo, pero sin duda significa que la escritura por cualquiera de estas ecuaciones es imposible o muy difícil.

Exponencial Diophantine Ecuaciones: Hay otros sabores de Diophantine ecuaciones, además de variedades algebraicas. Por ejemplo, usted podría considerar la exponencial Diophantine ecuaciones, por ejemplo: $2^n = x^2 + 23$. En este caso, a menudo se pueden convertir las soluciones a estas ecuaciones en subconjuntos de ecuaciones polinómicas de género, al menos, dos. Por ejemplo, la ecuación anterior nos da soluciones a uno de los cinco género tres curvas: $$Ay^5 = x^2 + 23, \qquad A = 1,2,4,8,16.$$

Así, a menudo se puede "reducir" para el caso de curvas. Alternativamente, Baker método puede ser utilizado directamente en las ecuaciones exponenciales para dar a los límites superiores.

Los fenómenos de una gran "más pequeño". solución: Hay algunas ecuaciones que tienen una infinidad de soluciones de que el "más pequeño", que es bastante grande, por ejemplo, el primer no-trivial solución a la ecuación de Pell $x^2 - 61 y^2 = 1$ ha $$[x,y] = [1766319049, 226153980].$$ Sin embargo, en estos casos (y en casos similares provenientes de curvas elípticas) por lo menos uno se espera (y sabe de Pell) que existe un límite en el regulador que es el polinomio en los coeficientes, donde el regulador implica el logaritmo de las entradas. Así que esto da a los límites superiores para la primitiva soluciones que son exponenciales en un polinomio en los coeficientes, es suficiente para prevenir la super-enormes cantidades derivadas como el más pequeño de solución interesante.

Resumen: Hay muchos otros sabores de la ecuación de Diophantine uno puede escribir, pero creo que el resumen es que las conjeturas de Lang sugieren que, en algún nivel heurístico, que el tipo de fenómenos que están buscando simplemente no ocurre naturalmente. Puede haber una manera de incrustar Ackerman de la función en un cierto sistema de ecuaciones (pero no en ecuaciones polinómicas), pero creo que usted podría considerar la posibilidad de que el engaño.

Answer 2

Mientras estoy completamente de acuerdo con @Qbert el sentimiento de que no van a encontrar nada que difícil enlazado con Conway encadenado flecha notación (tenga en cuenta que la función de Ackermann y Graham número sólo se necesitan 2 o 3 flechas, por lo que incluso permite el acceso directo "donde G es la de Graham número de" no llegue a la línea siguiente), aquí es algo explícito el hecho de que, al menos, usted puede ser que desee utilizar dos flechas. $$ a^3-k^2=-11492\\ x^2-(a^2-1)y^2=1\\ u^2-(a^2-1)v^2=1\\ s^2-b^2-1)t^2=1\\ v=r^2 \quad b=1+4py \quad b=a+qu \\ s=x+cu \quad y=k+e-1 \\ t=k+4(d-1)y\\ x = w+z \\ f^3-g^2=w $$

Considero que las soluciones en los enteros positivos. (Usted puede agregar restricciones como $ w=1+A^2+B^2+C^2+D^2 $ cuando sea necesario para la fuerza de variables a ser positiva si usted prefiere trabajar sobre todos los de $\mathbb Z$.)

La primera ecuación tiene una solución con $a=154319269$ dado por Elkies aquí (y también a los demás, por ejemplo, $a=13,k=117$). Los próximos seis líneas son exactamente el sistema dado por Martin Davis por el Teorema 3.1, en "de Hilbert del Décimo Problema está sin resolver" y que sólo tienen una solución para dar $a,k$ cuando $x$ es exactamente el $k$th más pequeña solución a $x^2-(a^2-1)y^2=1$, en caso de que $x\ge^k$. El próximo permite a los $w$ alcance de más de la totalidad de los $1\le w < x$.

La primera y la última de las ecuaciones son Mordell curvas y tiene sólo un número finito de soluciones para $w$ fijo. Teniendo en cuenta el valor de $a$ dada anteriormente, hay una solución con $x>10^{10^{13}}$. Entonces yo realmente no podía decir cómo muchas de las soluciones podría ser la última ecuación, pero el más grande es de al menos $\lfloor\sqrt[3]{x 2}\rfloor$, y basado en Marshall Hall de la conjetura podemos esperar a ser mayor que $x^6$.

Pero, en cualquier caso, un atado de Baker en la sección V. 8 de Silverman & Tate requeriría $$ g\le\exp((10^6w)^{10^6})<3^{10^{10^{20}}}<10\rightarrow 5 \rightarrow 2 $$ el uso de Conway notación (y suponiendo que el $a$ dado anteriormente es el más grande de la solución de la primera ecuación).

Answer 3

Yo no podía dar una explícita de la ecuación, pero si usted está dispuesto a doblar un poco las reglas, estoy bastante seguro de que uno debe de existir. Aplicar Matiyasevich del teorema para el busy beaver problema: para cualquier $$ n, el conjunto de los tiempos de ejecución de todas detener binario máquinas de Turing con $n$ de los estados es finito y Diophantine, y por lo tanto representados por los valores positivos por parte de algunos entero polinomio $P(x_1,\ldots,x_k)$.

Entonces uno podría elegir la ecuación de Diophantine P $(x_1,\ldots,x_k) = 1+a^2+b^2+c^2+d^2$, con la salvedad de que podría haber un número infinito de soluciones (aunque tal vez a alguien familiarizado con el MRDP la construcción podría corregirme), pero hay sólo un número finito de valores distintos de $(a,b,c,d)$. Y el busy beaver función crece absurdamente (no computably) rápido, así que no debería tomar mucho tiempo para los valores de $a$, $b$, $c$, $d$ a superar cualquier cosa que la notación de flecha se puede describir.

Answer 4

El más pequeño de la solución del sistema $$x^2+101y^2=z^2,\quad x^2-101y^2=t^2$$ es $$x=2,015,242,462,949,760,001,961;\quad y=118,171,431,852,779,451,900;$$ $$ z=2,339,148,435,306,225,006,961;\quad t=1,628,124,370,727,269,996,961$$ de acuerdo a Wolfram.