Cubierta dos-escota de la botella de Klein por el toro

Question

Demostrar que existe una cubierta de dos escota de la botella de Klein por el toro.

OK, tomamos la la representación poligonal del Toro y dibujar una línea en el medio como sigue:

¿Entonces ahí hay dos botellas de Klein, pero cómo escribir abajo la real cobertura mapa $q:S^1 \times S^1 \to K$?

Answer 1

La mayoría de los topologists sería feliz sólo dibujar el diagrama que has dibujado (a pesar de que la topologists sé prefieren dibujar en las manzanas), pero si quieres hacerlo de forma explícita, a continuación, usted puede también.

Como usted sabe, el 'toro' $S^1\times S^1$ es homeomórficos a $[0,1]\times [0,1]/\equiv$ donde $\equiv$ identifica los bordes de la plaza por $(x,0)\equiv(x,1)$$(0,y)\equiv(1,y)$. También definimos la botella de Klein a ser $K=[0,1]\times [0,1]/\sim$ donde $\sim$ identifica los bordes de la plaza por $(x,0)\sim(x,1)$$(0,y)\sim(1,1-y)$.

Para el toro, tenemos una explícita continua surjection $$ \pi:[0,1]\times[0,1]\S^1\times S^1: (x,y)\mapsto\left(e^{i\pi x},e^{i\pi y}\right) $$ usando el estándar de identificación de $S^1$ con el círculo unitario en el plano complejo (más una conveniencia notacional que cualquier otra cosa). Tenga en cuenta que ahora tenemos: $$ (x_1,y_1)\equiv(x_2,y_2)\Longleftrightarrow \pi(x_1,y_1)=\pi(x_2,y_2) $$ En otras palabras, $\pi$ induce una bien definida homeomorphism $([0,1]\times[0,1]/\equiv)\to S^1\times S^1$.

El siguiente paso es interpretar el diagrama como un mapa de $[0,1]^2\to[0,1]^2$. Este mapa es entonces va a inducir a los dos sábana que cubre queremos. El mapa es como en el Callo de la respuesta de veces a lo largo de la línea media antes de la identificación de los puntos. Explícitamente, tenemos: $$ \phi:[0,1]\times[0,1]\[0,1]\times[0,1]: (x,y)\mapsto \begin{cases} (2x,y) &\mbox{if } x\le\frac12 \\ (1-2x,y) & \mbox{if } x\ge\frac12. \end{casos} $$ Este es el "plegado por la mitad'. La composición de este mapa con la proyección de $\pi_\sim:[0,1]\times[0,1]\to K$, se obtiene el mapa de $\psi=\pi_\sim\circ\phi$$[0,1]\times[0,1]$$K$. Pretendemos que este mapa de $\psi$ induce una doble cubierta de$[0,1]\times[0,1]/\equiv$$K$. Para mostrar esto, tenemos que comprobar que: $$ |(\psi^{-1}(\{\vec{x}\})/\equiv)|=2 $$ para cada una de las $\vec{x}\in K$. En otras palabras, cada elemento de a $K$ tiene exactamente dos preimages en $[0,1]\times[0,1]$, hasta equivalencia en $\equiv$.

Esta comprobación es el verdadero contenido de la prueba, y la dejaré como un ejercicio. Es básicamente lo que el diagrama está diciendo.

Ahora tenemos un doble-cubierta por $[0,1]\times[0,1]/\equiv$$K$. Ya hemos comentado que hay un homeomorphism entre el$S^1\times S^1$$[0,1]\times[0,1]/\equiv$; poniendo a estos en conjunto nos da una doble cubierta de $K$$S^1\times S^1$.

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Insisto - hay muy poco contenido en nada de esto, y de verdad que es sólo una forma de hacer su diagrama de 'riguroso' en algún sentido. Es bueno trabajar con un par de ejemplos como este de forma explícita, pero te plátanos y ser totalmente riguroso todo el tiempo en la topología.

Answer 2

Una manera de definir el torus es el cociente $T=\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$, donde actúa $\mathbb{Z}^2$ $\mathbb{R}^2$ por las traducciones. Por lo tanto, para cualquier espacio $X$, especificando un mapa $f:T\to X$ es equivalente a especificar un mapa $\overline{f}:\mathbb{R}^2\to X$, que satisface $\overline{f}\circ g=\overline{f}$ para cualquier $g\in\mathbb{Z}^2$.

Una forma de definir la botella de Klein es como el cociente $K=\mathbb{R}^2/G$, donde $G$ es un grupo de simetrías que contiene $\mathbb{Z}^2$. Así, el % de proyección natural $\pi:\mathbb{R}^2\to K$desciende a la cubierta doble deseado $p:T\to K$.

Answer 3

No sé cómo escribiría en una banana, pero el mapa es para doblar el rectángulo a lo largo de la línea media e identificar los puntos que coinciden.