Mapa de la norma sobre extensión de Galois

Question

Que $K$ sea una extensión de Galois de $F$. Probar o refutar que cualquier campo intermedio $L$ $K/F$ es de la forma $L=F(\{N(a)\mid a \in K\})$, donde $N$ la norma mapa de $K/L$.

Answer 1

Esta afirmación es correcta. Nosotros sólo probar el caso cuando L es un infinito campo, la prueba cuando L es sólo un campo finito es mucho más fácil debido a que el grupo de Galois es generado por el Frobenius mapa y la norma es fácil de calcular.

Prueba:Supongamos que $K=F(\beta)$ con $f(x)=min(\beta,L)=\prod_{\sigma\in Gal(K/L)}{(x-\sigma(\beta))}$ $=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$. Una simple observación aquí es que $F(\{a_{i}\})=L$, por lo que solo tenemos que mostrar que $F(\{N_{K/L}(\alpha)\mid\alpha \in K\})=F(\{a_{i}\})$. Utilizando la definición de la Norma, tenemos $N_{K/L}(\alpha)=\prod_{\sigma\in Gal(K/L)}\sigma(\alpha)$, para cualquier $\alpha$ en K. Deje $\alpha=a-\beta$ donde$a \in F$,$N_{K/L}(\alpha)=f(a)$. Por último, el uso de un poco de álgebra lineal, podemos demostrar que $F(\{f(a)\mid a\in F\})=F(\{a_{i}\})$(sugerencia: el uso de Vandermonde Determinante). Ahora la prueba es completa.