Demostrando que una esfera tiene una superficie mínima relación con el cálculo de variaciones

Question

Sé que el problema es tradicionalmente resuelto a través de la desigualdad isoperimétrico, pero tenía la esperanza de resolverlo mediante la minimización de una superficie de revolución sujeto a una restricción de volumen.

El área de la superficie de una superficie de revolución es:

$$A=2\pi\int_{-1}^{1}y\sqrt{1+\dot{y}^2}~dx$$

y el volumen será:

$$V=\pi\int_{-1}^{1}y^2~dx$$

Me gustaría mostrar que la esfera (o en este caso la función de $x^2+y^2=1$) minimiza el área de la superficie funcional para cualquier volumen fijo.

La acción combinada será entonces:

$$S=\int_{-1}^{1}2\pi y\sqrt{1+\dot{y}^2}+\lambda\pi y^2 dx$$

De Euler Lagrange Ecuación se simplifica a:

$$-\frac{2 \pi y'(x)^2}{\sqrt{y'(x)^2+1}}+2 \pi \sqrt{y'(x)^2+1}+\frac{2 \pi y(x) y'(x)^2 y"(x)}{\left(y'(x)^2+1\right)^{3/2}}-\frac{2 \pi y(x) y"(x)}{\sqrt{y'(x)^2+1}}+2 \pi \lambda y(x)=0$$

Yo no tienen una idea clara de cómo proceder a partir de aquí. Puedo resolver para $\lambda$ usando Mathematica, y obtener

$$\lambda=\frac{y(x) y''(x)-y'(x)^2-1}{y(x) \left(y'(x)^2+1\right)^{3/2}}$$

La ODA solución es muy complicada, con la participación de alrededor de la mitad de una docena de las integrales elípticas, y parece ser que no va a ninguna parte. Hay algo fundamentalmente mal con mi enfoque, o es que hay un siguiente paso obvio en el problema?

EDIT: el Uso de la Beltrami identidad de lugar, y revertir el problema de manera que el volumen es muy variada y constante de un área de la superficie es la restricción, el de la ecuación se puede simplificar a:

$$y(x)^2+\frac{2\lambda y(x)}{\sqrt{y'(x)^2+1}}=k$$

Que, aunque mucho más simple, no me hace tener más cerca de una respuesta.

Si $k$ es igual a $0$ $y(0)$ es del mismo modo, y la educación a distancia reduce muy bien, y puede ser resuelto. Una de las soluciones es:

$$y(x)=\sqrt{4 \lambda ^2-x^2}$$

Que es la ecuación de un círculo (que cuando se hace girar alrededor del eje se convierte en una esfera). Sin embargo, algunos supuestos que se hacen allí, que no son necesariamente verdaderas.

Answer 1

Me pasé un par de horas más en el problema, y, finalmente, encontró la solución. No hay grandes avances, pero un montón de álgebra.

En primer lugar, que revocó el problema, en lugar de maximizar el volumen sujeto a una superficie de área de restricción. No es estrictamente necesario, pero simplifica el cálculo. También me dio la superficie de una magnitud $k$, por user7530 del comentario. La nueva acción es:

$$S=\int_{-\lambda/2}^{\lambda/2}\pi y^2 + 2\lambda\pi y\sqrt{1+\dot{y}^2}-\lambda k~dx$$

La integración de los límites también fueron cambiados por conveniencia.

Luego, debido a que el Lagrangiano no depende explícitamente en la variable $x$, yo era capaz de aplicar la Beltrami identidad en lugar de la tradicional, EL de la ecuación.

$$\frac{d}{dx}\left(\pi y(x)^2 + 2\lambda\pi y(x) \sqrt{1+y'(x)^2}-\lambda k - \frac{2\pi\lambda y'(x)^2y(x)}{\sqrt{1+y'(x)^2}}\right) = 0$$

La integración de ambos lados, nos encontramos con que el funcional dentro de la derivada es igual a una constante. Debido a $y$ es igual a$0$$-\lambda/2$$\lambda/2$, y cada término de la derivada depende de $y(x)$, excepto para el $\lambda k$ plazo, la constante aditiva arbitraria debe ser $-\lambda k$, lo que cancela con el $-\lambda k$ en el lado izquierdo.

La DE se convierte en:

$$\pi y(x)^2 + 2\lambda\pi y(x) \sqrt{1+y'(x)^2} - \frac{2\pi\lambda y'(x)^2y(x)}{\sqrt{1+y'(x)^2}} = 0$$

Multiplicando el segundo término por $\frac{\sqrt{1+y'(x)^2}}{\sqrt{1+y'(x)^2}}$, que a su vez se simplifica a:

$$y(x)^2 + \frac{2\lambda y(x)}{\sqrt{1+y'(x)^2}}=0$$

Esto puede ser resuelto por $y(x)$, y con la constante elegido igual a cero, la solución es la ecuación de un círculo de radio $\lambda/2$.

$$y(x)=\pm\sqrt{4 \lambda ^2-x^2}$$

Answer 2

Hay un par de problemas con la formulación:

1. El volumen de restricción: ahora mismo te están limitando el volumen total a cero (verificación mediante la diferenciación de $S$ con respecto al $\lambda$). Si desea que el volumen total sea igual a un cierto valor fijo $C$, es necesario que en lugar de la acción

$$S = \int_{-1}^1 \left[2\pi y \sqrt{1+y'^2} + \lambda(\pi y^2-C/2)\right]\,dx.$$

2. Las condiciones de frontera: el problema restringe su superficie de revolución a tocar la delimitación de los puntos de $(\pm 1,0,0)$. Por supuesto, dependiendo del valor de $C$ la esfera de volumen $C$ no suele tocar estos puntos. Usted todavía puede minimizar el área de la superficie, dadas estas condiciones de contorno, pero se dan cuenta de que se está resolviendo una más difícil que la versión del problema isoperimétrico. (Que yo también no se puede resolver en el momento).