Demuestra la desigualdad: $\sum \frac{a^4}{a^3+b^3} \ge \frac{a+b+c}{2}$

Question

Demostrar la desigualdad con $a,b,c >0$ $$\frac{a^4}{a^3+b^3} + \frac{b^4}{b^3+c^3}+\frac{c^4}{c^3+a^3} \ge \frac{a+b+c}{2}$$

He probado la desigualdad: $\sum \frac {a^4+b^4}{a^3+b^3} \ge \sum \frac{a+b}2=a+b+c$ pero parece que no ayuda

Answer 1

Aquí se analiza en profundidad esta desigualdad: http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=51&t=23113

Me gusta más el método de la suma de cuadrados:

\begin{align} & \sum_{cyc}{\frac{a^4}{a^3+b^3}}-\frac{1}{2}\sum_{cyc}{a} \\ & =\frac{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2(ab+ac+bc)^2}{4(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)} \\ & +\sum_{cyc}{\frac{c^2(b-c)^2(2c^3(a^3+b^3)+c^2a^2(a+b)^2+2ca^4b+a^4(a^2+b^2))}{4(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)}} \\ & \geq 0 \end{align}