Motivación detrás de los parámetros

Question

En este artículo se muestra una técnica de evaluación de una integral definida mediante la introducción de un parámetro adecuado. Sin embargo, esto no arrojan luz sobre la motivación para la introducción de ese parámetro concreto.

Para inctance:

$1)$ $\int_0^\infty \dfrac{\sin x}{x}dx $ puede ser evaluado mediante la introducción de la función de $f(b)=\int_0^\infty \dfrac{\sin x}{x}e^{bx}dx$

$2)$ $\int_0^{\pi/2} x\cot x dx$ puede ser evaluado mediante la introducción de $f(b)=\int_0^{\pi/2}\dfrac{\arctan(b\tan(x))}{\tan (x)} dx$

¿Cuál es la motivación detrás de estos parámetros, en general, ¿cómo puedo encontrar un parámetro para evaluar a un particular de la integral definida, sin prueba y error?

Answer 1

Un método general no existe; de lo contrario, podríamos calcular todas las integrales, que evidentemente no es cierto.

Podemos decir algo acerca de ciertos casos especiales, sin embargo:

1. Si tenemos una integrando de la forma $\dfrac{f(x)}{x}$ donde $f$ es una función simple de $x$, es a menudo conveniente introducir un parámetro que después de la diferenciación, el $x$ en el denominador se quita. Una aplicación de esta regla permite la evaluación de, por ejemplo, $$\int_0^{\infty} dx \, \dfrac{e^{-x} - e^{-2x}}{x}.$$
2. Esto parece más como una suerte de adivinar.

Un caso especial: para $\int dx \log(1+x) R(x)$ o $\int dx \tan^{-1}(x) R(x)$ $R$ una función racional de $x$, poner un parámetro dentro de la $\log$ o $\arctan$. Después de la diferenciación, usted recibirá una función racional que siempre se puede integrar en principio.