¿Es el % ideal $I = \{f\mid f (0) = 0\}$en el anillo $C [0, 1]$ de todas las funciones de valoradas real continuo en $[0, 1]$ un ideal maximal?

Question

¿Es el % ideal $I = \{f \mid f (0) = 0\}$en el anillo $C [0, 1]$ de todas las funciones de valoradas real continuadas en el intervalo $[0, 1]$ un ideal maximal?

Answer 1

Según lo sugerido por Sigur, puede mostrar que $\varphi : \left\{ \begin{array}{ccc} C([0,1]) & \to & \mathbb{R} \\ f & \mapsto & f(0) \end{array} \right.$ induce un isomorfismo entre $C([0,1])/I$y $\mathbb{R}$. Por lo tanto, $C([0,1])/I$ es un campo y $I$ es un ideal maximal.

De lo contrario, puede resultar directamente de la definición: % de Let $J$ser un ideal de $C([0,1])$ tal que $I \subsetneq J$. En particular, existe $g \in J \backslash I$ (es decir. $g(0) \neq 0$). Cada $f \in C([0,1])$:

$$f= \underset{ \in I \subset J}{\underbrace{\left( f- \frac{f(0)}{g(0)}g \right)}}+ \underset{\in J}{\underbrace{\frac{f(0)}{g(0)}g}} \ \in J$$

Por lo tanto, $J=C([0,1])$ $I$ es un ideal maximal.

Answer 2

Supongamos que $I\subset J$ y que la inclusión es adecuada. Entonces $\exists f\in J$ $f(0)\not= 0$. Claramente $f(x)-f(0)\in I\subset J$. Así $f(x)-\Big(f(x)-f(0)\Big)\in J$% y tan $f(0)\in J$, es decir contiene un $J$ $1.\:\:$