¿Es una representación exacta de lo teóricos de la categoría con un interés en los fundamentos están realmente tratando de lograr?

Question

Los problemas que enfrenta la fundacionalista programas de siglo pasado, incluido tratando de decidir:

• Cual es la verdadera lógica en la que todas las matemáticas debe estar basado? Véase también, Brouwer-Hilbert controversia.
• Que son los verdaderos principios del universo de los conjuntos? Véase también el Axioma de Determinación, Generalizada Hipótesis continua.

Como yo lo veo, categorial de la lógica proporciona una solución. En lugar de tratar de responder a estas preguntas, podemos estudiar functors (etc.) que se asignan a los problemas de una "versión" de las matemáticas en la otra. Entonces la pregunta es no, "Que es el verdadero fundamento?", sino "¿Cómo puedo asignar este problema en otros lugares, de modo que resulta más fácil de resolver?"

Al menos, esa es la impresión que me estoy bajo. ¿El párrafo anterior retratar con precisión a qué categoría teóricos con un interés en que las fundaciones están realmente tratando de lograr? Y si es así, ¿hasta qué punto ha sido alcanzado?

Answer 1

Fundamentos ofertas con la búsqueda de una buena teoría (en algún tipo de lenguaje) que es bueno para expresar todos los objetos matemáticos y tener la suficiente axiomas para demostrar la existencia de todos bien conocida la construcción, tales como el de los números naturales, de los espacios, y así sucesivamente.

Por mucho tiempo se pensó que la teoría de conjuntos fue la única posible de la fundación para las matemáticas, y para que todas las matemáticas puede ser escrito en términos de conjuntos.

Categoría de la teoría y, en particular, categórica lógica han demostrado que no es el caso. De hecho, la categoría de los teóricos han demostrado que el uso de la lengua de topos teoría es posible codificar casi todas (si no todas) de las matemáticas en todos los topos, también los diferentes de conjuntos.

De manera categórica la lógica de no cambiar los problemas (o pregunta en la fundación), sino que respondió a esas preguntas, de una manera bastante diferente respecto a la clásica, que se basa en la teoría de conjuntos.

p.s. Sólo como un aviso de la categoría de teoría se originó también homotopy tipo de teoría que puede ser considerado un gran paso en la fundación que tiene como objetivo garantizar que todas las matemáticas puede ser escrita, no solo en el idioma de un topos pero en el idioma de una mayor topos. Pero yo no soy demasiado experto para ser capaz de decir más por ahora, tal vez alguien más podría añadir algo al respecto :)