Número de líneas formadas por los lados del polígono

Question

Deje $n\geq 3$, y considere la posibilidad de $n$-gon, no necesariamente convexa. ¿Cuál es el número mínimo de distintas líneas que se forman por los lados de la $n$-gon?

Al $n=3,4,5$ la respuesta es $3,4,5$ respectivamente. Para $n=6$ que puede guardar una línea, por ejemplo, si queremos llamar la "forma de V" $6$-gon para que los dos lados en la parte superior de la V de la misma línea. Para mayor $n$ debemos ser capaces de reducir a la mitad el número de líneas distintas por la formación de una "forma de la estrella", de modo que los lados opuestos de la estrella de la misma línea. Pero, ¿podemos hacerlo mejor?

Answer 1

Podemos hacer mejor? Sí:

Esta figura tiene 28 bordes de la formación de 12 líneas. Si usted cuenta esto como "2 sangrías en cada lado", a continuación, la generalización "$k$ guiones de cada lado" ha $8k+12$ bordes formando $2k+8$ líneas, se aproxima asintóticamente 4 bordes por línea.

¿Hay mejor configuraciones? Me gustaría conjetura casi seguro :-).

Edit: De hecho, podemos obtener la relación arbitrariamente bajos. En estas cifras con $k$ 'torres' y $k$ 'niveles' ($k \ge 2$) no se $8k^2$ bordes en $6k+2$ líneas ($2k+2$ horizontal y $4k$ vertical), dando al menos $k$ bordes por línea.