He oído que los Números Complejos no forma ordenada campo, por lo que no se puede decir que un número es mayor o menor que otro. Siempre he estado bien con esto, pero recientemente he preguntado ¿qué pasa si uno de ellos describe el tamaño como la distancia a lo largo de una curva de rellenado de espacio? Si los números reales pueden ser ordenados, y se pueden trazar una curva a través de todos los puntos en el espacio 2D, entonces, ¿qué le impide ordenar los puntos puramente por cuán lejos a lo largo de la curva de los puntos? Cada punto debe ser una única distancia, y la distancia aumenta continuamente (en lo que a mi entender va). Acaso hay alguna diferencia entre ser "ordenado" y de ser "ordenado", campo que me estoy perdiendo? Conozco los conceptos básicos acerca de por qué se diferencian, pero me falta formales de matemáticas de la formación por encima de Álgebra 2... Todo lo demás (en la mayoría de los Análisis Real) he estudiado por mi cuenta, así que mi conocimiento es irregular en zonas como esta.
Respuestas
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Por supuesto, puedes poner un orden total en los números complejos (un ejemplo más fácil de lo que su curva de rellenado de espacio: simplemente tomar la orden lexicographic en $\mathbb{C}\cong\mathbb{R}^2$). Sin embargo, si usted es el estudio de los números complejos como un campo, entonces usted quisiera que su pedido sea, en cierto sentido, compatible con la suma y la multiplicación. Por ejemplo, usted quiere
- si $a<b$, $a+c<b+c$
- si $a<b$$c>0$, $ac<bc$
y algunos otros. Sin embargo, esto es imposible de obtener en $\mathbb{C}$. Lamentablemente, no conozco la prueba de este hecho. Yo estaría interesado en ver que si.
Definitivamente, usted puede poner una orden de $\prec$ sobre los números complejos. De hecho, la orden puede ser un bien de orden, por el bien de pedido teorema. La pregunta es si esa orden "es útil".
Aquí hay algunas cosas que probablemente desee en el orden de $\prec$:
- si $0 \prec \alpha, \beta$,$0 \prec \alpha \beta$.
- si $\alpha, \beta, z, w$ son complejos con $\alpha \prec \beta$$z \prec w$,$\alpha + x \prec \beta + y$.
En realidad, una orden en un campo (como el de los números complejos) que satisface estas propiedades nos da una ordenó campo. Ver Ross Millikan comentario de por qué usted no puede poner una orden en $\mathbb C$.
