En primer lugar, definamos un $n$ -como la esfera euclidiana en $\mathbb{R}^n$ incluyendo su interior y su superficie donde $n$ se refiere al número de coordenadas necesarias para describir el objeto (la notación geométrica), NO la notación topológica que se refiere a la dimensión del colector. Todos los $n$ -Las bolas consideradas aquí son de radio 1 centradas en el origen. Por lo tanto, un $n$ -el balón es el conjunto de puntos
$$\{x=(x_1,x_2,...,x_n)\in \mathbb{R}^n : \sum_{i=1}^n x_i^2 \leq 1\}.$$
Es bien sabido que el volumen de la unidad $n$ -es dada por
$$V(n)=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}$$
y antes de que alguien lo señale, consideraremos que todos los volúmenes son sin unidad para poder compararlos entre sí. Así, por ejemplo
$$\pi=V(2)<V(3)=\frac{4}{3}\pi.$$
Ahora, mi pregunta es por qué $V(n)\rightarrow 0$ como $n\rightarrow\infty$ ? Este comportamiento es independiente del radio. Dependiendo del radio, $V(n)$ puede (o no) aumentar al principio, alcanzar un pico en algún $n$ y luego disminuye monotónicamente y converge a cero. Considerando $n\in\mathbb{N}$ para tomar sólo valores discretos, para la unidad $n$ -bola, el volumen máximo se alcanza a $n=5$ .
He leído todo lo que he podido encontrar (aquí/wikipedia y otros lugares) y sí veo que el $n$ -la bola ocupa una porción cada vez más pequeña del cubo circunscrito $[-1,1]^n$ y he visto los argumentos de que se debería utilizar el diámetro como cantidad fundamental en lugar del radio. De esta manera, el volumen disminuye monotónicamente hasta llegar a cero para todo $n$ al menos para la bola de la unidad. También veo la razón analítica por la que la función converge a cero. La función gamma en el denominador crece mucho más rápido que el numerador y finalmente toda la fracción converge a cero aunque el radio sea un googol.
Pero mi pregunta es, intuitivamente hablando (como si la intuición fuera una buena guía en dimensiones superiores), $V(n)$ debe ser monótonamente creciente o, al menos, no decreciente. Tal y como yo lo veo, una bola 2 está contenida en una bola 3 y una bola 2 puede girar en $\mathbb{R}^3$ para crear una bola 3. Del mismo modo, se puede girar cualquier $(n-1)$ -bola en $\mathbb{R}^n$ alrededor del eje correspondiente para crear un $n$ - bola. Sé que cualquier $(n-1)$ -bola en $\mathbb{R}^n$ tiene medida de Lebesgue cero pero dentro de cualquier $n$ -bola, un $(n-1)$ -La bola puede girar alrededor de cualquiera de los $n$ ejes para que $V(n)$ debe ser mayor que $V(n-1)$ . Este "argumento" concreto no se ha tratado en ninguna de las preguntas anteriores que he podido encontrar.
¿Alguna interpretación geométrica de lo que ocurre? Puntos extra para algo intuitivo y/o ejemplos de 1-2-3 dimensiones para mostrarme la falacia de mi argumento. Gracias.
Adenda: He visto este hilo (e incluso este y muchos otros en stack exchange y math overflow) y como dije, no abordan mi argumento presentado en esta pregunta. Sí mencionan otros argumentos como la comparación con el cubo circunscrito o mirar analíticamente la fracción para ver por qué llega a cero. Pero esos ya los conozco... concretamente leyendo estos mismos hilos.
