De cuántas maneras puede un elemento de grupo en un grupo finito ser escrito como un conmutador?

Question

Parece que hay un resultado por Frobenius que indica que el número de maneras en que un elemento $g$ de un grupo finito puede ser escrito como un conmutador ($\phi(g) = | \{(x,y) \in G \times G: g = [x,y]\}|$) está dado por $\phi(g) = \sum_{\chi} \frac{|G| \chi(g)}{\chi(1)}$, donde la suma se toma sobre todos los irreductible personajes de $G$.

No puedo encontrar el documento original y estoy teniendo problemas en probar esto. Estoy tratando de hacer uso de la clase de álgebra constantes, pero no tan lejos. Tendría alguien la amabilidad de proporcionar algunos consejos?

Gracias!

Answer 1

Más general de los resultados se demuestran en el Alon Amit y Uzi Vishne, los Personajes y las soluciones de las ecuaciones en grupos finitos, J Alg Appl 10 (2011) 675-686. Para el resultado de Frobenius, se refieren a las páginas de la 1 a 37 de sus Gesammelte Abhandlungen, Banda III. También citan a M a Alghandi e F G Russo, Una generalización de la probabilidad de que el conmutador de dos elementos del grupo es igual a un elemento dado, arXiv:1004.0943, y T Tambor, El número de soluciones de algunas ecuaciones en grupos finitos y una nueva prueba de Ito del teorema, Commun Alg 28 (2000) 5353-5362. Yo no he visto a ninguno de estos.

Otro artículo que te puede interesar es M R Pournaki y R Sobhani, la Probabilidad de que el conmutador de dos elementos del grupo es igual a un elemento dado, J Pure Appl Alg 212 (2008) 727-734. Pero este papel de la cites el resultado de Frobenius, y se refiere a las obras completas, sin número de página.

Answer 2

Uber Gruppencharaktere. Sitzungsber. der Berl. Ak., 1896, Página 985-1021. (Véase Pár.3).

Answer 3

En realidad, la solución sigue fácilmente si uno combina el resultado de un Problema 3.23 en Isaacs' libro de los caracteres con la ortogonalidad relación (una vez que se reemplaza $h$ $g^-1$ en ese problema).

A mi mente, una pregunta relacionada con la anterior es interesante: para obtener un carácter libre de la fórmula para que el número de pares ordenados $(x,y)$ dar $g=[x,y]$ fijos $g$$G$.

Espero que esto ayude,

Nea Marin

Answer 4

Gracias por toda su ayuda, pero he conseguido averiguar de cuántas maneras, cualquier elemento de grupo puede ser escrito como una palabra dada (y, por supuesto, esto demuestra que este tema de la declaración). Yo había abierto este Número de maneras en que un elemento de grupo de un grupo finito puede ser escrito como una palabra dada por esta cuestión más general.