Topologías en el espacio $\mathcal D'(U)$ de las distribuciones de

Question

En mi análisis de la conferencia me dan una topología en el espacio de las distribuciones de la siguiente manera:

Deje $u_k$ ser una secuencia en $\mathcal D'(u)$, $u \in \mathcal D'(u)$. Podemos decir $u_k \rightarrow u$ si $\forall \phi \in \mathcal D(u) : u_k(\phi) \rightarrow u(\phi)$.

Este es el débil-$*$-topología en $\mathcal D'(u)$. Parece que los profesores no se preocupan demasiado acerca de la topología de $\mathcal D'(u)$, por lo tanto me pregunto si hay más fuerte topologías en $\mathcal D'(u)$.

Answer 1

Algunas observaciones:

$D(U)$ es reflexiva, incluso un Montel espacio, por lo que el doble de $D'(U)$ con fuerte o débil, de la topología de nuevo $D(U)$ [Esto es en contraste a Brian el comentario].

Un funcional lineal en $D(U)$ es continua (es decir, una distribución) si y sólo si es secuencialmente continua. Esto es notable, ya que el espacio de funciones de prueba de $D(U)$ no es metrizable, de manera secuencial continuidad es generalmente no suficiente.

Una secuencia de distribuciones es débilmente convergente si y sólo si es fuertemente convergentes [es decir, uniformemente acotado a los subconjuntos de a $D(U)$].

El último comentario es por eso que por lo general sólo los débiles topología es conocido. Y Schwartz probado y menciona esta consecuencia muy a menudo en su libro.

Answer 2

No hay duda de que existen más fuerte topologías en las distribuciones, sino como un asunto práctico, el débil-* definición es la que es muy interesante, y supongo que esa era la dirección de su pregunta. No es la norma habitual de la topología a disposición en $\mathcal D(U)$, y por Tim comentario no tiene una diferente de la norma de la topología.

$\mathcal D(U)$ es un muy estricto espacio para ser y a converger, por lo que no es muy exigente para ser una distribución. El trabajo duro es todo puesto en la prueba de funciones, por así decirlo. Aunque hay una cierta cantidad de cosas interesantes que puedes hacer con las distribuciones, prácticamente distribuciones son un trampolín para llegar a más espacios interesantes, como el uso de la diferenciabilidad de sus propiedades para definir los espacios de Sobolev.