Es el complemento de un número finito de dimensiones subespacio cerrado?

Question

Deje $F$ ser finito dimensionales subespacio de un infinito dimensional espacio de Banach $X$, sabemos que $F$ siempre es topológicamente complementa en $X$, es decir, no es siempre un subespacio cerrado $W$ tal que $X=F\oplus W$.

Estoy pensando en la conversación. Supongamos $W$ es un subespacio de $X$ tal que $X=F\oplus W$ para algunos finito dimensionales subespacio $F$. Es $W$ necesariamente cerrado?

Supongo que la respuesta debe ser negativa, pero no puedo encontrar un ejemplo. Puede alguien dar una sugerencia?

Gracias!

Answer 1

Si $f:X\to\mathbb C$ es discontinua lineal funcional, a continuación, $\ker f$ no está cerrado. Si $v$$X\setminus \ker f$, $F=\mathbb C v$ $W=\ker f$ da un contraejemplo. ($X$ es el interior de la suma directa de $F$ $W$ como espacios vectoriales, pero no es un topológica de la suma directa.)