El especial ortogonal grupo es un colector de

Question

¿Cómo podemos demostrar que $SO(n)$ $n^2$- colector. Sería tentador decir que $SO(n)$ es un conjunto abierto de $\mathbb R^{n^2}$, pero este no es el caso desde $SO(n)$ es dada como intersección de preimages de los embarazos únicos. Pero los únicos están cerrados en $\mathbb R$ por lo tanto $SO(n)$ es cerrado en $\mathbb R^{n^2}$.

Answer 1

Deje $f : M_n(\mathbb{R}) \longrightarrow S_n(\mathbb{R})$ definido por $f(A) = ~^tAA$

$O_n(\mathbb{R}) = f^{-1}(\{I_n\})$. A continuación, compruebe que $I_n$ es un valor regular de $f$.

Por lo $O_n(\mathbb{R})$ es un submanifold de $M_n(\mathbb{R})$, la dimensión de es $\dim(M_n(\mathbb{R}) - \dim(S_n(\mathbb{R})) = n^2 - \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ . Desde $SO_n(\mathbb{R})$ está conectado a un componente de $O_n(\mathbb{R})$ es un submanifold.

Me pregunta si desea más detalles