Poner $2^{600}$ , $3^{500}$ , $4^{400}$ , $5^{300}$ y $6^{200}$ en orden de menor a mayor

Question

Poner $2^{600}$ , $3^{500}$ , $4^{400}$ , $5^{300}$ y $6^{200}$ en orden.

Problema que encontré mientras miraba problemas antiguos de concursos de matemáticas.

Evidentemente, una solución sencilla sería comparar $600\ln2$ , $500\ln3$ etc. Pero, ¿cómo se puede resolver este problema sin una calculadora? ¿Expresando los números en la misma base de alguna manera?

Le agradecería cualquier idea al respecto.

Answer 1

Como $(a^b)^{100} = a^{100b}$ para todos los positivos $a$ y $b$ este problema es el mismo que ordenar

$2^6, 3^5, 4^4, 5^3$ y $6^2$

lo cual es sencillo.

Answer 2

Seguro que puedes organizar $2^6$ , $3^5$ , $4^4$ y así sucesivamente en orden sin calculadora.

Answer 3

Para evaluar estos valores, deben colocarse en la misma "plataforma".

Reescribiendo $2^{600}$ como $(2^6)^{100}$ y $3^{500}$ como $(3^5)^{100}$ y demás los hará comparables (ahora), bajo la misma plataforma.

Después de hacer eso, entonces, estás comparando $(64)^{100}, (243)^{100}$ y así sucesivamente.