Hay un residuo teorema de holomorphic operador de valores de funciones?

Question

Me pregunto si es que existe tal cosa como un "residuo teorema de holomorphic operador de las funciones con valores". Más precisamente, la quiero para evaluar una integral de la forma

$P:=\int_{\Gamma} (A(\lambda) - \lambda)^{-1} d \lambda$

donde cada una de las $A(\lambda)$ es un cerrado operador y $\Gamma$ encierra un autovalor $\lambda_0$ de la holomorphic operador lápiz $A(\lambda) - \lambda$, es decir, para algunos eigenfunction $u_0$ tenemos $A(\lambda_0)u_0 - \lambda_0u_0=0$.

En el caso de una $\lambda$independiente de la $A$ el operador $P$ (hasta un constante) la conocida Riesz de Proyección correspondiente a $\lambda_0$. Si (y cómo) se puede generalizar a un $\lambda$-no lineal autovalor problema es precisamente lo que mi pregunta es de que se trate.

Gracias por la ayuda de antemano!

Answer 1

Más allá de los bastante estándar discusión de resolvents, es razonable "de Cauchy teoría" para que el vector de valores de holomorphic y meromorphic funciones con valores en un cuasi-completo localmente convexo espacio vectorial topológico. Rudin del Análisis Funcional se analiza la Frechet-espacio-valorada caso bastante bien, con algunas abstracciones. Mi análisis funcional notas en http://www.math.umn.edu/~garrett/m/diversión/ incluye la discusión de los cuasi-integridad, débil y fuerte holomorphy, etc. Bourbaki "Integración", habla de vector de valores de las integrales en esta generalidad, demasiado.

La potencialmente punto delicado es lo que "meromorphy" significa para un vector de valores de la función $F$: básicamente, no debe ser un escalarcon valores de holomorphic función de $f$, de modo que $f\cdot F$ es holomorphic. Esto es, uno debe evitar malos singularidades. La concesión que, el residuo de cálculo funciona tan bien como se podría esperar razonablemente!

Answer 2

Bajo el supuesto de que este es un finito dimensionales problema y $A(\lambda)$ es holomorphic, que puede ser caracterizado con la izquierda y la derecha vectores propios correspondientes a los asociados no lineal autovalor problema. Deje $T(\lambda):=A(\lambda)-\lambda I$, de manera que podamos fórmula (14) en http://dx.doi.org/10.1016/j.laa.2011.03.030 con $f(\lambda)=2i\pi$. Más precisamente, si $(\lambda_i,v_i,w_i)$, $i=1,\ldots,p$ son los triples tal que $T(\lambda_i)v_i=0$$w_i^HT(\lambda_i)=0$$\lambda_i\in\operatorname{int}(\Gamma)$$w_i^HT'(\lambda_i)v_i=1$. A continuación, $$\int_\Gamma (A(\lambda)-\lambda I)^{-1}\,d\lambda=2i\pi\sum_i^pv_iw_i^H.$$ Se requiere que los vectores propios puede ser normalizada como $w_i^HT'(\lambda_i)v_i=1$, que es el genérico de la situación y sostiene, en particular, si todos los autovalores de a $\operatorname{int}(\Gamma)$ son simples. Es también una consecuencia directa de la anterior resultado http://dx.doi.org/10.14495/jsiaml.1.52.