Es todo espacio de Hilbert de un álgebra de Banach?

Question

Deje $H$ ser un espacio de Hilbert. Podríamos decir que, siempre hay una multiplicación en $H$, lo que la convierte en un álgebra de Banach? Si no, bajo qué condiciones existe?

Answer 1

Deje $J $ ser un índice de la cardinalidad de una base ortonormales de $H $. A continuación, $H $ es isométricamente isomorfo a $\ell^2 (J) $, por lo que es suficiente para discutir el problema en este último espacio.

Definir el producto $fg $ pointwise, es decir,$fg (j):=f (j)g (j) $. La pregunta es si este producto se mantiene en $\ell^2$, y si la norma es submultiplicative. Tenemos $$ \|fg\|_2^2=\sum_j|f (j)|^2\,|g (j)|^2\leq\|f\|_\infty^2\,\|g\|_2^2\leq\|f\|_2^2\,\|g\|_2^2, $$ así que los dos de la norma y la pointwise producto hacen $\ell^2$ un álgebra de Banach.

Answer 2

Otro de Banach-álgebra de la estructura en el espacio de Hilbert $\mathsf{hs}(H)$ de Hilbert-Schmidt a los operadores en un espacio de Hilbert $H$ es sólo el operador de multiplicación (composición). Hay una natural involución en esta álgebra pero no es una C*-álgebra.