Auto-adjointness

Question

Sé que he publicado esta pregunta antes de hace algún tiempo. Pero nadie podía ayudarlo, así que me decidí a poner mi problema en otro fondo.

La ecuación de Schrödinger de un libre escalares del campo está dada por

$i\partial_{t}\Psi[\Phi,t]~=~\underset{A}{\underbrace{\frac{1}{2}\int d^{3}x\left(-\frac{\delta^{2}}{\delta\Phi^{2}(\vec{x})}+|\nabla\Phi|^{2}+m^{2}\Phi^{2}\right)}}\Psi[\Phi,t]$.

Esta es la representación de Schrödinger de QFT.

Ahora quiero saber, si el operador $A$ en la r.h.s es esencialmente auto-adjuntos?

Cualquier idea o consejo?

Mi problema es cómo manejar los funcionales derivados de aquí.

Answer 1

El llamado $Q$-espacio puede no ser la mejor representación para discutir su pregunta. Yo sugiero que busque en la (unitarily) equivalente a la representación de Fock espacios. Vamos a suponer que su campo es bosonic, y considerar el espacio de Fock $$\Gamma_s(L^2(\mathbb{R}^d))=\bigoplus_{n=0}^\infty L^2_s(\mathbb{R}^{nd})$$ donde $L^2_s$ es el espacio de la simétrica de las funciones (con respecto al cambio de variables), y la convención de las $L^2_s(\mathbb{R}^0):=\mathbb{C}$. En este espacio, el operador $A$ es comúnmente definida como la segunda cuantización de $\omega_x=\sqrt{-\Delta_x + m^2}$ o en la transformada de Fourier de $\omega(k)=\sqrt{k^2 + m^2}$. Podemos definir simbólicamente $A'=d\Gamma(\omega)$ (en ambos casos). Deje $f\in L^2_s(\mathbb{R}^nd)$, luego $$ (d\Gamma(\omega) f)(x_1,\dotsc,x_n)=\sum_{j=1}^n \omega_{x_j}\, f(x_1,\dotsc,x_n)\; .$$ Definir $D(\omega^n)$ a ser el dominio de la auto adjunto del operador $\sum_{j=1}^n \omega_{x_j}$$L^2_s(\mathbb{R}^{nd})$. Así que la segunda cuantización de actos como la suma de la acción de la partícula de los operadores en cada una de las variables. Es un auto adjunto ilimitado operador, con dominio esencial de la auto-adjointness $$D=\{\phi=(\phi_0,\dotsc,\phi_n,\dotsc)\in \Gamma_s(L^2) \text{ with each } \phi_n\in D(\omega^n)\text{ such that }\phi_n=0 \text{ for all but a finite number of $n$} \} $$

$A'$ es unitarily equivalente a $A$, por lo que también se $A$ es un uno mismo-adjoint operador. Véase el segundo volumen de Caña y Simon, la sección libre de campos cuánticos.