Secuencia aleatoria de Alterna de Aumento/Disminución de los Números de

Question

La declaración del problema: en repetidas ocasiones escoger un número al azar (uniformemente distribuida) entre $0$$1$. Siguiendo la marcha, mientras que el segundo número es menor que el primero, el tercer número es mayor que el segundo, el cuarto número es menor que el tercero, el quinto número es mayor que la cuarta, etc. En otras palabras, los números deben alternar entre decreciente y creciente. Parar cuando este modelo de alternancia está roto. ¿Cuál es el valor esperado del número de números aleatorios elegido?

Yo creo que el problema requiere integrales, específicamente integrar el valor esperado más de $0$$1$. Sin embargo, estoy atrapado en llegar a este valor esperado, ya que, si $x_0, x_1, x_2, \cdots, x_n$ es la secuencia de números seleccionados, la probabilidad es $1-x_0$ que la cantidad de números seleccionados se $2$, la probabilidad es $x_1$ que la cantidad de números seleccionados se $3$, la probabilidad es $1-x_2$ que el número esperado de números seleccionados se $4$, la probabilidad es $x_3$ que la cantidad de números seleccionados se $5$, etc. Yo no puedo averiguar cómo configurar una parte integral de este. Alguna idea?

Answer 1

Una clave de la realización de aquí es que los números no importan, ni tampoco el hecho de que esta es una distribución uniforme. La respuesta sería la misma que para cualquier distribución continua. Todo lo que importa es el orden de clasificación de los números. Dado que cualquier N distintos números fueron escogidos, todos los $N!$ orden de los números tienen la misma probabilidad. Así el problema se reduce a contar las formas en $A_N$ a organizar la $N$ enteros $1,2,\dots,N$ de tal manera que se alternen la disminución y el aumento de la partida con la disminución de la. A continuación, nuestra respuesta es simplemente

$$E(picks) = 2 + \sum_{k=2}^{\infty}P(N \gt k)$$

$$=\sum_{N=0}^{\infty}\frac{A_N}{N!}$$

donde $A_0 = 1$, e $A_1 = 1$, y podemos comprobar fácilmente

$A_2 = 1$

$A_3 = 2$

$A_4 = 5$

$A_5 = 16$

Estos producen en los términos

$1 + 1 + 1/2 + 1/3 + 5/24 + 2/15 + \dots$

en consonancia con lo que ha sido calculada previamente. La determinación de los demás, es bien conocida la combinatoria del problema conocido como cuenta la alternancia de permutaciones o de André problema cuya secuencia está dada por AEIS A000111 y conocido como el de Euler en zigzag números:

1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, 370371188237525, 4951498053124096, 69348874393137901, 1015423886506852352, 15514534163557086905, 246921480190207983616, 4087072509293123892361, ...

El uso de estos valores da un valor esperado de aproximadamente $3.41$ recoge, de acuerdo con la simulación. La generación de la función de estos números resulta ser sec(x) + tan(x), por lo que la respuesta exacta es s(1) + tan(1).

Este problema debe ser etiquetado para las combinaciones, permutaciones, alternando permutaciones, Euler zigzag números, y Andrés problema.

Answer 2

La probabilidad de que usted escoja al menos dos números es $1$. La probabilidad de que te tire un tercero es $x_0$, debido a que es la sala de $x_1$ tiene que ser menos. Para hacer de esto una probabilidad, se integran los más de $x_0$, consiguiendo $\int_0^1(1-x_0)dx_0=\frac 12$. La oportunidad de escoger un cuarto es $1-x_1$, pero la distribución de $x_1$ no es uniforme. Sobre una base relativa, la probabilidad de que un valor dado de a $x_1$ $(1-x_1)$ o en una base normalizada tenemos $P(x_1)=2(1-x_1)$ La oportunidad de elegir un cuarto, dado que se eligió a tres luego se $\int_0^12(1-x_1)^2dx_1=\frac 23$, por lo que la posibilidad de que la selección de al menos $4$ $\frac 13$

Answer 3

EDITADO: Deje $N$ ser la variable aleatoria dando el número de términos en una monótona secuencia alternada de números aleatorios uniformemente distribuidos en [0,1).

N toma los valores de $2,3,4, \ldots n, \ldots$. Con el fin de obtener la distribución de probabilidad de $N$, denotamos por a $U_1, U_2, \ldots, U_n, \ldots$ una secuencia de yo.yo.d. variables aleatorias, $U_n\sim Unif[0,1)$, y por $D_1=\{(x,y)\in[0,1)^2\:|\: x>y\}$, $D_2=\{(x,y)\in[0,1)^2\:|\: x\leq y\}$, las regiones de interés dentro de la unidad de la plaza de $[0,1)^2$.

Por la sencillez de la escritura no me insertar el signo '=' para caracterizar un par en $D_2$.

Permítanos calcular $P((U_2, U_3)\in D_2|((U_1, U_2)\in D_1)=\dfrac{P(U_2<U_3, U_2<U_1)}{P(U_2<U_1)}=\dfrac{P(U_2<min(U_1, U_3))}{1/2}$.

Pero $P(U_2< min(U_2, U_3))=P(U_1, U_2, U_3)\in \Delta_m)$,$\Delta_m=\{(x_1, x_2, x_3)\in [0,1)^3\:|\: x_2\leq min(x_1,x_3)\}$.

Debido a la simetría trazamos la gráfica de la superficie de la $x_3= min(x_1, x_2)$, y calcular el volumen de la región en la unidad de cubo que se caracteriza por $x_3\leq min(x_1, x_2)$.

Esta región es una sólida pirámide de tener la unidad el cuadrado como base, altura y longitud igual a 1. Por lo tanto su volumen es de $1/3$ y llegamos a la conclusión de que $P((U_2, U_3)\in D_2|((U_1, U_2)\in D_1)=\dfrac{1/3}{1/2}=2/3$.

La probabilidad de $P((U_2, U_3)\in D_1|((U_1, U_2)\in D_1))=\dfrac{P(U_3<U_2, U_2<U_1)}{1/2}=\dfrac{1/6}{1/2}=1/3$.

Por simetría llegamos $P((U_2, U_3)\in D_1|((U_1, U_2)\in D_2)=\dfrac{1/3}{1/2}=2/3$.

y $P((U_2, U_3)\in D_2|((U_1, U_2)\in D_2))=1/3$.

Es simplemente para ver que sólo el presente, de la posición de un punto influye en la probabilidad de que el siguiente tierras en algunas regiones $D_1, D_2$. es decir, este vuelo de una región a otra, puede ser interpretado como una cadena de Markov tener los estados $D_1, D_2$ y el de la matriz de transición

$T=\left[\begin{array}{ll} 1/3&2/3\\ 2/3&1/3\end{array}\right]$

Nos deja denotar por $X_n$ esta cadena de Markov.

Ahora podemos calcular la probabilidad de que la admisibilidad de una secuencia de longitud igual a $k$, $k=2,3, \ldots$:

$P(N=2)=P(X_1=D_1, X_2=D_1)=T_{11}=1/3$.

$P(N=3)=P(X_1=D_1, X_2=D_2, X_3=D_2)=T_{12}T_{22}=\dfrac{2}{3}\dfrac{1}{3}$

$P(N=4)=P(X_1=D_1, X_2=D_2, X_3=D_1, X_4=D_1)=\dfrac{2^2}{3^2}\dfrac{1}{3}$

De forma análoga, se obtiene: $P(N=k)=(\dfrac{2}{3})^{k-2}\dfrac{1}{3}$, para cualquier $k\geq 2$.

Nos damos cuenta que nuestra variable aleatoria puede ser expresado como $N=G+1$ donde $G$ es una variable aleatoria geométrica de parámetro $p=1/3$. Por lo tanto $M(N)=M(G)+1=\dfrac{1}{p}+1=4$