La pregunta básica acerca de la S-Matrix, Unitarity y Eficaz de la Teoría de Campo de

Question

Considere la posibilidad de dispersión de partículas en un estado colectivamente denotado por $i$ a un estado final denotar por $f$. La dispersión de la amplitud, de la S-matrix se define por: $S_{fi}\equiv \langle f|e^{-iHt}|i\rangle$. Nosotros, a continuación, separe el S-matriz de la identidad y de la otra parte como $S_{fi}=\delta_{fi}+iT_{fi}$. La declaración de unitarity es que $S^\dagger S=1$, lo que implica que $2{\rm Im}T=T^\dagger T$, lo que conduce a la óptica y teorema de todo eso.

En el campo de la teoría, lo que queremos calcular es la amplitud de donde nos atenemos sólo a $T$ entre los dos estados. Es decir, que sólo se suele calcular las amplitudes en la que algo interesante está sucediendo.

En el estudio de la eficacia en campo de las teorías, a menudo veo que las declaraciones acerca de la violación de unitarity que me confundan. Por ejemplo, si tomamos un simple escalar la teoría de campo con un derivado de la interacción $\mathcal L=\frac{1}{2}(\partial\phi)^2+\lambda(\partial\phi)^4/\Lambda^4$, entonces podemos calcular $2\to 2$ dispersión y nos gustaría encontrar algo como $\mathcal{M}_{2\to 2}\sim \lambda k^4/\Lambda^4$.

He leído y escuchado a la gente decir que para $k\gg \Lambda$, esto conduce a una violación de unitarity. Supongo que esto significa una violación de $2{\rm Im}T=T^\dagger T$. ¿Por qué es este el caso? Ciertamente, la expansión perturbativa se rompe en este régimen, pero ¿por qué esta conectado a unitarity?

Si el ejemplo anterior incumple unitarity, entonces ¿cuál es la diferencia entre el anterior y el caso de una normal, no derivados $\lambda\phi^4$ la interacción y la con $\lambda\gg 1$ el caso anterior? La clave parece ser que $\mathcal{M}$ pone muy grande en la derivada ejemplo, pero esto también podría ocurrir en $\lambda\phi^4$ y dudo que esta última teoría tiene cualquier violación de unitarity.

Answer 1

Como Trimok dicho, la probabilidad de dispersión de algunas bien enfocado paquetes seguirán así como la sección transversal y como $|{\mathcal M}|^2$. Para bosones, no hay energía que dependen de otros factores, por lo $|{\mathcal M}|^2$ sí tiene que ser menor que un número de orden uno de la probabilidad de permanecer menor que uno.

Esto está relacionado con $T^\dagger T=i(T-T^\dagger)$ debido a que esta ecuación implica desigualdades para la dispersión de las amplitudes. La matemática de la esencia de esta declaración es que para una variable compleja, $|z|^2={\rm Im}(z)$ sólo tiene soluciones es $|z|$ es menor que un determinado número de orden uno (que se puede calcular). Durante demasiado grandes valores de $|z|$, así como un millón, es claro que $|z|^2$ es mucho mayor que ${\rm Im}(z)$) y la ecuación no puede ser satisfecho. La desigualdad que $|z|$ tiene que ser más pequeño de lo que algo es, por tanto, es moralmente equivalente a la afirmación de que la probabilidad de nunca excede de uno y dos proposiciones pueden ser derivados de los unitarity.

Es por eso que "dos a dos" bosones' dispersión de la amplitud que crece con los bosones de energía implica un crecimiento demasiado rápido de la sección transversal, un crecimiento demasiado rápido de la probabilidad para algunos paquetes, y que viola la unitarity condiciones, porque en el párrafo anterior. Las teorías derivadas de las interacciones se descomponen en energías no muy diferente de la masa del Higgs.

Pero incluso si usted trata con superficialmente renormalizable interacciones, algunas cancelaciones son necesarios para preservar la unitarity. De hecho, la clásica electrodébil de Lagrange puede ser derivada de estas condiciones de "árbol de unitarity" combinado con la desintegración beta de los datos experimentales, ver

http://motls.blogspot.com/2012/07/why-there-had-to-be-higgs-boson.html?m=1

Su argumento de que el crecimiento no importa porque es como un gran $\lambda\gg 1$ no funciona porque las $\lambda \gg 1$ es imposible por las mismas razones. Una adimensional de acoplamiento de más de uno implica que el bucle correcciones son en realidad más importante que el "líder", el árbol, el nivel de contribución. Resulta que la teoría con un cuarto grado de interacción no admitir cualquier definición coherente para $\lambda\gt \lambda_0 \sim O(1)$. Es por eso que incluso para un bajo valor de $\lambda$ que crece con la energía debido a la renormalization ejecución, que en última instancia, encontrar la "Landau polo", donde el valor de $\lambda$ crece demasiado fuerte (y rápidamente infinito) y la teoría se convierte en mal definidos. (La situación es diferente para el calibre de las teorías que pueden ser coherente para un gran $g$, debido a la S-dualidades, etc.).

Así que un demasiado gran valor de la dispersión de la amplitud es siempre un problema.