El uso de Poincaré-Bendixson, para demostrar que existe una solución periódica

Question

Quiero usar el de Poincaré-Bendixson teorema para demostrar que existe un trivial (y periódicos) solución a $$z'' + [\log (z^2 +4(z')^2)]z' + z = 0.$$

Por lo tanto, he sustituido $u = z'$ conseguir $$u' = - \log(z^2 + 4u^2) u - z, \quad z' = u.$$

No hemos cubierto el teorema en nuestras clases todavía, así que yo solo trato de seguir la página 10 de estos sistemas dinámicos notas. Creo que podemos diferenciar $f$ en cada conjunto abierto discontinuo con $(0,0)$, pero ¿qué sería de la $\mathcal S$ estar aquí? ¿Cómo proceder?

Aquí es la trama de la dinámica del sistema mencionado anteriormente y una muestra de la trayectoria a partir de $(-5,5)$.

Answer 1

@Hice la sugerencia es correcta. Aquí está la respuesta: Considere una función de Lyapunov de la forma $$V(u,z)=u^2+z^2.$$ Tenemos $$ V'(u,z)=2(uu'+zz')=-2u^2\log(z^2+4u^2),\\ $$ donde la derivada es tomado respecto a $t$. Ahora consideremos el anillo $A$ definido por: $$\frac{1}{4}\leq u^2+z^2\leq1.$$ En primer lugar, no hay ningún punto fijo en $A$ desde el único punto fijo de que el sistema es $(0,0)$. Segundo, podemos comprobar que $A$ es de hecho un reventado de la región, de modo que podemos aplicar de Poincaré-Bendixson teorema:

$$u^2+z^2\leq\frac{1}{4}\implies\log(z^2+4u^2)\leq0\implies V'(u,z)\geq0,$$ $$u^2+z^2\geq1 \implies\log(z^2+4u^2)\geq0\implies V'(u,z)\leq0.$$ Esto implica que las corrientes van hacia el exterior en $u^2+z^2=\frac14$ el límite interior de $A$ y va hacia el interior en $u^2+z^2=1$ el límite exterior de $A$. Por lo tanto, cada semi-órbita, que comienza en $A$ permanece en $A$ siempre. Por lo tanto, $A$ es de hecho un reventado de la región. Ahora Poincaré-Bendixson teorema implica que existe una órbita periódica dentro de $A$.