el límite de la relación de dos a $\Gamma(x)$ funciones

Question

Estoy interesado en la cantidad $$ a_{n} = \sqrt{n/2} \frac{\Gamma((n-1)/2)}{\Gamma(n/2)}$$ (este es el geométrico, el sesgo de la no-central de la distribución t con $n$ d.f.) Después de algunos indican, mi corazonada es que $a_n \approx 1 + \frac{3}{4n} + \mathcal{O}\left(n^{-2}\right)$ $n\to\infty$ . Hay un conocido asintótica resultado de esta forma? Uno puede asumir $n$ es un número entero.

Un poco de google me llevan a Feng Qi del excelente encuesta de las desigualdades en torno a las proporciones de $\Gamma$ funciones de este formulario, pero no puedo encontrar una asintótica de expansión de este formulario.

Answer 1

Es verdad que el $a_n = 1 + \frac{3}{4n} + O(n^{-2})$. Una referencia es de NIST Digital de la Biblioteca de Funciones Matemáticas, la Ecuación 5.11.12, donde se han $$\frac{\Gamma(z+a)}{\Gamma(z+b)} \sim z^{a-b} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{G_k(a,b)}{z^k},$$ donde $G_k(a,b) = \binom{a-b}{k} B^{(a-b+1)}_k(a),$ y $B_n^{(i)}(x)$ es un generalizada de Bernoulli polinomio.

Tu pregunta ha $z = n/2$, $a = -1/2$, $b = 0$.

Si usted toma la DLMF la leche de fórmula uno más plazo, y el uso de $G_0(a,b) =1$, $G_1(a,b) = \frac{1}{2} (a-b)(a+b-1)$, y $G_2(a,b) = \frac{1}{12} \binom{a-b}{2} (3(a+b-1)^2-(a-b+1))$, se obtiene $$a_n = 1 + \frac{3}{4n} + \frac{25}{32n^2} + O(n^{-3}).$$

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Agregado

: lo creas o no, Wolfram Alpha puede hacer esto para usted también. Por ejemplo, el enlace dice que $$a_n = 1 + \frac{3}{4n} + \frac{25}{32n^2} + \frac{105}{128n^3} + \frac{1659}{2048 n^4} + \frac{6237}{8192 n^5} + O(n^{-11/2}).$$