¿Qué sucede cuando se realiza la raíz cuadrada en desigualdades?

Question

Simplificar: $x^2 > 1$.

Mi solución: Tomando la raíz cuadrada en ambos lados:

$±x > ±1$

Entonces mis resultados son:

1. $x > 1$
2. $x > -1$
3. $-x > 1$ $\implies$ $(-1 > x)$
4. $-x > -1$ $\implies$ $(1 > x) $

Pero siento fuertemente que esto está mal. ¿Qué hay de mal aquí?

Una explicación paso a paso me ayudará.

Answer 1

Dado que $\sqrt\cdot$ es creciente y $\sqrt{(\cdot)^2}=|\cdot|$, $$a^2>b^2\iff|a|>|b|.$$

Answer 2

Necesitamos $x^2-1=(x-1)(x+1)>0$

Como el producto es positivo, los multiplicadores deben ser ambos positivos o ambos negativos.

Primero consideramos el escenario donde ambos son positivos:

Si $x-1>0\iff x>1\ \ \ \ (1)$

y $x+1>0\iff x>-1\ \ \ \ (2)$

$(1),(2)\implies x>$max$(1,-1)$

Probar el caso negativo de manera similar

Answer 3

Al resolver desigualdades cuadráticas, debe ser el caso que el lado derecho de la ecuación sea cero. Entonces tenemos:

$$x^2-1>0.$$

Luego encontramos los números críticos, que son los valores de $x$ que harán que nuestra desigualdad sea mayor que cero.

Tenemos $x=1$ y $x=-1$ como números críticos.

Mis números críticos entonces dividieron mi línea numérica real en 3 partes/subintervalos. A saber:

$$(-\infty,-1),\quad(-1,1)\quad\mbox{y}\quad(1,\infty).$$

En cada parte es aconsejable obtener un valor de prueba, un número que se encuentre en los subintervalos y sustituirlo en el LHS anterior y debemos tener en cuenta el signo, que son los signos de los subintervalos con respecto a nuestra desigualdad.

Si $x=-2$ tenemos un signo positivo, por lo que para todos los $x$ en el primer subintervalo tenemos que $x^2-1$ es positivo.

Si $x=0$ tenemos un signo negativo, por lo que para todos los $x$ en el segundo subintervalo $x^2-1$ es negativo.

Por último, si $x=2$ tenemos un signo positivo, por lo que para todos los $x$ en el tercer subintervalo tenemos que $x^2-1$ es positivo.

Originalmente tenemos $x^2-1>0$, lo que significa que $x^2-1$ es positivo, por lo que nuestra respuesta es $$(-\infty,-1)\cup (1,+\infty).$$

Esta es la forma general de resolver desigualdades cuadráticas.

Answer 4

Puedes ir directamente de $x^2 > 1$ a $|x| > |1|$.

Ahora obviamente $|1| = 1$, entonces $|x| > 1$, por lo tanto, o bien $x > 1$ o $x < -1$.

Answer 5

Cuando aplicas la operación de raíz cuadrada a ambos lados de la desigualdad como $f^2(x) < c$ o $f^2(x) > c$, entonces $c < 0$ no te da soluciones para $f^2(x) < c$ y cualquier $x \in \mathscr D(f)$ para $f^2(x) > c.
Si $c \geq 0$, entonces $f^2(x) < c \rightarrow |f(x)| < \sqrt{c}$ y $f^2(x) > c \rightarrow |f(x)| > \sqrt{c}$ (lo mismo para $\leq$ y $\geq$).
En tu caso $c = 1$ y $f(x) = x$, entonces $f^2(x) > c \rightarrow |x| > \sqrt{c}, c = 1$, entonces $|x| > 1$, o $x \in (-\infty,1)\cup(1,+\infty)