Número Normal - Intuición

Question

Me parece Borel del teorema que afirma que casi todos los números reales son normales muy contra intuitivo. Si pienso en el intervalo [0,1) y me imagino que el número representado por infinitos dígitos decimales [supongamos base 10] 0.xxxxxxx..... donde cada x es un dígito de la infinita representación decimal de un número en el intervalo. (x es un dígito del 0..9)

Entonces, parece muy obvio para mí que la mayoría de los números en el intervalo no tienen las propiedades de distribución de un número normal (como todos los dígitos 0..9 se muestran 1/10ª de la época, 00..99 mostrar hasta 1/100 de la hora,etc).

A ver, un simple experimento, utilizando digamos sólo 10 dígitos decimales de 0.xxxxxxxxxx y llenando los dígitos decimales con todos los valores posibles obtenemos los números 0.00000000001, 0.00000000002, etc, hasta que 0.9999999999. Por simple conteo, vemos que el número de los que tienen la propiedad de ser normal son un subconjunto muy pequeño de todos los números posibles (que sólo se las permutaciones de 0.0123456789).

Esto es aún más fácil para ver si nos tomamos la base 2, por ejemplo. Supongamos que podemos experimentar con todas las combinaciones posibles de 2 dígitos en la base 2. Disponemos de 0.xx, por lo que tenemos 4 posibilidades: 0.00, 0.01, 0.10, 0.11

Sólo la mitad de los números (de 0,01 y 0,10) 'está en el modo de producir un número normal'.

Sé que es normal, tenemos que tener un número infinito de dígitos, pero no puedo ver cómo lo que el número de dígitos infinito superar este fenómeno se describe anteriormente. Es decir, 0.xxxxxxx..... no debe tener bien distribuidos dígitos mayor parte del tiempo.

Podría usted por favor punto en que estoy mal?

Answer 1

Cambio de números binarios para simplificar. Así que un binario decimal número es de la forma $$ 0.001011110..... $$ donde los bits continuar indefinidamente. Podemos elegir un número de monedas de tirar! Si tenemos una cabeza, anote cero, con la cola escribir un uno. Hacer esto con una moneda tales que la probabilidad de que la cabeza es igual a la probabilidad de la cola, es decir, cada una es $1/2$. Asumimos que el cointosses son estocásticamente independientes. Ahora, por la fuerte ley de los grandes números, la limitación de la frecuencia de ceros se $1/2$, con una probabilidad de 1. Así que, con probabilidad uno, se obtiene un número normal!

Answer 2

Sigamos con el binario caso. Se detuvo en el segundo dígito con ustedes el análisis de este es un poco muy temprano.

Consideremos $5$ dígitos. Entonces usted tiene uno, con todos los queridos y cero, resp., y cinco, donde el número de dígitos saltos de cuatro contra uno. Fo el resto de los saltos de dos/tres. Y yo diría que los últimos son como mucho en el camino de convertirse en normal (en base dos) como sea posible. Estos ya son $24/32= 3/4$ de todos los. Ver las cosas de progreso.

Ahora, si sigues verás que esto se pone cada vez más fuerte, si no insistir en que los condes de $1$'s y $0$'s son exactamente el mismo o lo más cerca posible el uno del otro (en el caso de que el número es impar), pero siempre aumentar el margen de error de permitir que aumente el número.

Pero, esto es perfectamente razonable, ya que la definición de la cantidad normal significa que asintóticamente las frecuencias son las mismas, es que si se indican las frecuencias entre los primeros a $n$ dígitos por $f_0(n)$$f_1(n)$, entonces usted sólo desea que $f_0(n)/n$ tiende a $1/2$ $n$ hasta el infinito. (Esto no es toda la defintiion de lo normal, pero lo que significa para los dígitos individuales, en base dos, para conseguir la idea le.)

Así por ejemplo, si usted tiene un número, digamos, con $f_0(n)$$n/2 + 100 n^{3/4}$, entonces esto es todavía suficiente para cumplir la condición de que uno tiene de lo normal.

Usted podría tratar de hacer el caculation hice anteriormente para $5$ con un par de otros valores, para ver el efecto.