Una falsa conjetura de Goldbach

Question

En 1752 Goldbach envió esta conjetura a Euler: "Cada entero impar puede ser escrito en la forma $p+2a^2$ donde $p$ es una primicia o $1$ y $a$ es un número natural (puede ser incluso 0)." Esta conjetura resultó ser falsa y mi libro me pide que pruebe que $5777$ no puede escribirse de esa manera.

Lo que hice es simplemente señalar que si existe tal $p$ debe ser de la forma $5777-2a^2$ y así $a$ no debe ser mayor que $53$ . Entonces simplemente comprobé que para cada valor de $a$ de $0$ a $53$ $p$ no es primordial.

Por lo tanto, es una forma muy tediosa de probar esto y puede que en una prueba no sea capaz de hacerlo, así que me preguntaba si había algún camino más corto. (o mi libro sólo quería que hiciera muchos cálculos por alguna razón.)

Answer 1

Observe que $5777\equiv 2\pmod 3$ y $2a^2\equiv 2\pmod 3$ a menos que $3\mid a$ . Por lo tanto, una vez que se comprueba que $5777-3$ no es dos veces un cuadrado, sólo hay que comprobar $a$ con $3\mid a$ (reduciendo el esfuerzo en dos tercios).

Igualmente, $5777\equiv 2\pmod 5$ que permite dejar todos los casos en los que $a\equiv \pm1\pmod 5$ (después de comprobar que $5777-5$ no es el doble de un cuadrado).

Answer 2

Diga $p = 5777 - 2a^2$ .

Ahora bien, si $a \equiv 1,2 \mod 3$ entonces $p$ es divisible por $3$ lo cual es imposible ya que podemos comprobar que $p \neq 3$ .

Si $a \equiv 0 \mod 3$ entonces $p \equiv 17 \mod 18$ por lo que es suficiente con comprobar sólo algunos valores para $p$ .

Answer 3

Al principio suponemos que $3\nmid a$ . Entonces $a$ es una de las formas $3k\pm1$
Supongamos que \begin{align} 5777 &=p+2a^2\\ i.e \quad 5777 &=p+2(3k\pm1)^2\\ i.e \quad p&= 3(1925-6x^2\pm4x)\\ \end{align} Desde $p$ es un primo y $3|p$ Así que $p=3$ .
Así, \begin{align} 5777 &=p+2a^2\\ \implies a^2&=2887 \end{align} que no es un cuadrado perfecto. Esto demuestra que $5777$ no puede ser de la forma $3k\pm1$ .
Ahora suponemos que $3|a$ que provoca $a$ para estar en la forma $3q$ .
Ahora \begin{align} 5777 &=p+2a^2\\ \implies 5777&= p+18q^2\\ \implies p&\equiv 5777\quad (mod \quad 18)\\ \implies p&\equiv 17\quad (mod\quad 18)\\ \end{align} Pero $17$ y $18$ son relativamente primos y por lo tanto $18\nmid p$ .
La congruencia anterior sólo es válida para $p=17$ pero para $p=17$
$5777 =17+2a^2\implies a^2=2880$ que no es un número entero.
Así que este caso también falla.
Así se obtiene el resultado deseado.