Primero: transformación lineal frente a matriz.
Matrices.
Una matriz es una matriz rectangular, en el contexto del álgebra lineal las entradas son siempre elementos del campo de tierra (en tu caso, probablemente los números reales o los números complejos). Un $n\times m$ La matriz tiene $n$ filas y $m$ columnas.
Si $A$ es un $n\times m$ matriz, el rango de $A$ es la dimensión del espacio de filas (el subespacio de $\mathbb{R}^m$ visto como compuesto por vectores de fila, abarcados por las filas), que es igual a la dimensión del espacio de columnas (el subespacio de $\mathbb{R}^n$ , considerada como formada por vectores columna, abarcados por las columnas).
El rango también es igual al número de filas no nulas en la forma de escalón de fila (o escalón de fila reducido) de $A$ que es el mismo que el número de filas con $1$ s en la forma escalonada reducida, que es el mismo que el número de columnas con $1$ s en la forma escalonada reducida.
La nulidad de la matriz es la dimensión del subespacio de $\mathbb{R}^m$ (vistos como vectores columna) de todos los vectores $\mathbf{x}$ tal que $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ . Esto es igual al número de parámetros/grados de libertad en la solución general de $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ y es igual al número de columnas que hacen no tienen el liderazgo $1$ s en la forma reducida de fila-echelón de $A$ .
En particular, dado que cada columna de la forma escalonada reducida de $A$ o bien tiene un líder $1$ o no tiene uno principal, concluimos que $$\mathrm{rank}(A) + \mathrm{nullity}(A) = \text{number of columns of }A = m.$$
Esto se denomina a veces el Teorema de Rango-Nulidad en su versión matricial.
Transformaciones lineales.
Dados dos espacios vectoriales $V$ y $W$ (sobre el mismo campo), una transformación lineal es un mapa $T\colon V\to W$ tal que $T(\alpha\mathbf{v}+\mathbf{v}') = \alpha T(\mathbf{v})+T(\mathbf{v}')$ para todos $\mathbf{v},\mathbf{v}'\in V$ y todos los escalares $\alpha$ .
El imagen de $T$ es el subespacio de $W$ dado por $\{T(\mathbf{v})\mid \mathbf{v}\in V\}$ . El núcleo de $T$ es el subespacio de $V$ $\{\mathbf{v}\in V\mid T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}\}$ . El rango de $T$ es la dimensión de la imagen de $T$ , $\mathrm{rank}(T) = \dim(\mathrm{Im}(T))$ . La nulidad de $T$ es la dimensión del núcleo de $T$ , $\mathrm{nullity}(T) = \dim(\mathrm{ker}(T))$ . El Teorema de Rango-Nulidad en su versión para transformaciones lineales establece que $$\mathrm{rank}(T) + \mathrm{nullity}(T) = \dim(V).$$
Conexión entre ambos.
Un $n\times m$ matriz $A$ puede utilizarse para definir una transformación lineal $L_A\colon\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ dado por $L_A(\mathbf{v}) = A\mathbf{v}$ . Si hacemos esto, el núcleo de $L_A$ es igual al espacio nulo de $A$ y la imagen de $L_A$ es igual al espacio de la columna de $A$ . En particular, $\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(L_A)$ , $\mathrm{nullity}(A)=\mathrm{nullity}(L_A)$ .
En sentido contrario, dada una transformación lineal $T\colon V\to W$ si elegimos una base $\alpha$ para $V$ y una base $\beta$ para $W$ entonces podemos definir una matriz llamada matriz de coordenadas de $T$ con respecto a $\alpha$ y $\beta$ , $[T]_{\alpha}^{\beta}$ que es un $\dim(W)\times\dim(V)$ matriz cuyas columnas son los vectores de coordenadas, relativos a $\beta$ de las imágenes bajo $T$ de los vectores en $\alpha$ . La matriz tiene la propiedad de que para cada $\mathbf{v}\in V$ , $$[T]_{\alpha}^{\beta}[\mathbf{v}]_{\alpha} = [T(\mathbf{v})]_{\beta}$$ donde $[\mathbf{v}]_{\alpha}$ es el vector de coordenadas de $\mathbf{v}$ con respecto a la base $\alpha$ y $[T(\mathbf{v})]_{\beta}$ es el vector de coordenadas de $T(\mathbf{v})$ con respecto a $\beta$ . Si hacemos esto, entonces el rango de $T$ es igual al rango de $[T]_{\alpha}^{\beta}$ y la nulidad de $T$ es igual a la nulidad de $[T]_{\alpha}^{\beta}$ .
Así, las nociones de rango y nulidad para las matrices y para las transformaciones lineales se corresponden bajo la correspondencia entre matrices y transformaciones lineales.
0 votos
Vale, tiene sentido. Gracias.