Cómo demostrar esta desigualdad $ 1-\cos (xy) \le\int_0^xf(t) \sin {(tf(t))}dt + \int_0^y f^{-1}(t) \sin{(tf^{-1}(t))} dt .$

Question

Pregunta:

Sea $ f$ sea una función continua estrictamente creciente que asigna $ I=[0,1]$ sobre sí misma. Demostrar que la siguiente desigualdad es válida para todos los pares $ x,y \in I$ : $$ 1-\cos (xy) \le\int_0^xf(t) \sin {(tf(t))}dt + \int_0^y f^{-1}(t) \sin{(tf^{-1}(t))} dt .$$

Para este problema puedo querer usar la desigualdad de Young http://2000clicks.com/mathhelp/IneqYoungsInequality.aspx

así que $$g(t)=f(t)\sin{(tf(t))},g(0)=0$$

Pero $g(t)$ es una función estrictamente creciente ? y $g^{-1}(t)=?$

Así que no puedo usar la desigualdad de Young para resolver este problema. Gracias

Este problema es de: http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=1390433&sid=fd9e67731e5084a02adb9974cf035c51#p1390433

Answer 1

Denote \begin{align} T_1 &:=\{(u,v)\,|\,0\leq u\leq x,\,0\leq v\leq y\},\\ T_2 &:=\{(u,v)\,|\,0\leq u\leq x,\,0\leq v\leq f(u)\},\\ T_3 &:=\{(u,v)\,|\,0\leq v\leq y,\,0\leq u < f^{-1}(v)\}. \end{align} Entonces $T_1\subset T_2\cup T_3$ , $T_2\cap T_3=\emptyset$ y los tres conjuntos son conjuntos de Borel. Por tanto, para cada $g:[0,1]^2\to\mathbf{R}$ , $g\geq 0$ función Lebesgue-integrable tenemos $$ \int_0^y\int_0^x g(u,v)\,du\,dv \leq \int_0^x\int_0^{f(u)} g(u,v)\,dv,du+\int_0^y\int_0^{f^{-1}(v)} g(u,v)\,du\,dv. $$ En $$ g(x,y):=\frac{\partial^2(1-\cos(xy))}{\partial y\partial x}=\sin(xy)+xy\cos(xy)\geq 0 $$ obtenemos $$ 1-\cos (xy) \le\int_0^xf(u) \sin {(u\cdot f(u))}du + \int_0^y f^{-1}(v) \sin{(v\cdot f^{-1}(v))} dv. $$

Answer 2

Desde una perspectiva geométrica, tenemos que demostrar que el lado derecho es mayor que el área del rectángulo $xy$ y hench mayor que $1-\cos(xy)$ Si las integradas fueran simplemente $f(t)$ y $f'(t)$ El diagrama siguiente es suficiente. Dado que $\sin$ es monótona al igual que $t f(t)$ deberías poder formular un argumento similar aunque las integradas ya no sean inversas verdaderas entre sí. $$$$ $\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$