Cualquier número complejo puede ser el autovalor de algunos no negativo de la matriz

Question

Deje $z\in\Bbb C$. Mostrar que existe una no-negativo de la matriz $A$ (con entradas de $\geq 0$) tal que $z$ es un autovalor de a $A$.

Si $z$ es real, es fácil.

Ya, $a\geq 0$ es un autovalor de $$\begin{pmatrix} a&0\\ 0&a \end{pmatrix};$$ mientras que $a<0$ es un autovalor de $$\begin{pmatrix} 0&-a\\ -a&0 \end{pmatrix}.$$ Para la compleja $z$, necesitemos de las filas de $A$ es mayor que $3$...Con nosotros la construimos? O podríamos demostrar la afirmación anterior mediante el uso de algunos hechos de la no negativa de matrices...

Answer 1

Es suficiente con considerar no negativo de la parte imaginaria. Podemos comprobar directamente que $$\begin{pmatrix}a&b&0&0\\0&a&b&0\\0&0&a&b\\b&0&0&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\i\\-1\\-i\end{pmatrix}=(a+bi)\begin{pmatrix}1\\i\\-1\\-i\end{pmatrix} $$ y $$\begin{pmatrix}0&b&a&0\\0&0&b&a\\a&0&a&b\\b&a&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\i\\-1\\-i\end{pmatrix}=(-a+bi)\begin{pmatrix}1\\i\\-1\\-i\end{pmatrix} $$

Answer 2

Siguiente Hagen ejemplo, tenemos el siguiente $3 \times 3$ solución:

Supongamos que tenemos $z = a + b \omega$ donde $\omega = -\frac 12 + i\frac{\sqrt 3}{2} = e^{2\pi i/3}$. Configuración $$ J = \pmatrix{&1\\&&1\\1},\quad K = \pmatrix{&1&1\\1&&1\\1&1}, \quad x = \pmatrix{1\\ \omega \\ \omega^2} $$ Tomamos nota de que $Jx = \omega x$ mientras $Kx = -x$. Por tanto, podemos afirmar que para $a,b \in \Bbb R$, $$ aI + bJ $$ (donde $I$ es la matriz identidad) tiene el autovalor $a + b \omega$ (e $a + b \overline \omega$), mientras que $$ aK + bJ $$ tiene el autovalor $-a + b\omega$ (e $-a + b \overline \omega$).

Esta familia de matrices es suficiente.

Se puede demostrar que cualquier autovalor de un no-negativo $2 \times 2$ matriz de reales positivos.

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Mi solución original:

Para $z$ con parte real positiva, es suficiente para encontrar cualquier valor no negativo de la matriz con un autovalor complejo.

En particular, tomamos nota de que $$ J = \pmatrix{&&&1\\1\\&1\\&&1} $$ Ha ecuación característica $\lambda^4 = 1$, por lo que el $\pm i$ es un autovalor. De ello se deduce que la matriz de $$ aI + bj $$ (donde $I$ es la matriz identidad) ha autovalor $a \pm bi$.

Podríamos hacer algo similar con la matriz $J =\pmatrix{&&1\\1\\&1}$ dado que se pueden escribir todos los números complejos en la forma $a + b \omega$ donde $\omega^3 = 1$.

De hecho, a partir de aquí, estamos por hacer si queremos usar el $2n \times 2n$ matriz: tenga en cuenta que para cualquier matriz $A$, los valores propios del bloque de matriz de $$ \pmatrix{0&\\&0} $$ Se $\pm \lambda$ para todos los autovalores $\lambda$$A$.

Answer 3

Como Byron Schmuland ha señalado en otro hilo, cada punto de $a+ib$ dentro de la cerrada triángulo equilátero con esquinas $1,\omega,\omega^2$ (donde $\omega$ es una raíz cúbica de la unidad) puede ser realizada como el autovalor de una doblemente estocástica de la matriz de la forma $$ P=\begin{bmatrix}1-s-t&s&t\\ t&1-s-t&s\\ s&t&1-s-t \end{bmatrix}, $$ donde$s=\frac{1-a}3+\frac{b}{\sqrt{3}}$$t=\frac{1-a}3-\frac{b}{\sqrt{3}}$. La restricción de que $a+ib$ se encuentra dentro del triángulo formado por $1,\omega,\omega^2$ hacer $s,t\ge0$$s+t\le1$. (Tenga en cuenta que $P$ es también un circulantes de la matriz, de modo que todo su espectro puede ser expresada de forma explícita en términos de los coeficientes de la primera fila.)

Por lo tanto, cada número complejo $z$ es el autovalor de algunos no negativo múltiples de una doblemente estocástica de la matriz.

Answer 4

Y ahora algo mucho más complicado:

Supongamos $\lambda \in \mathbb{C}$.

El OP ha tratado puramente real de los autovalores, por lo que podemos asumir que $\operatorname{im} \lambda \neq 0$. Una verdadera matriz de autovalores en el conjugado pares, por lo que sólo tenemos que lidiar con $\operatorname{im} \lambda >0$. Si la matriz $A$ tiene un autovalor $\lambda$, entonces la matriz $rA$ tiene un autovalor $r \lambda$, por lo que podemos suponer que la $|\lambda| = 1$, y por lo $\lambda = e^{i \theta}$ algunos $\theta \in (0, \pi)$.

Deje $P_n$ ser el 'cambio' de la matriz de permutación, es decir,$P_ne_k = e_{k+1}$$k=1,...,n-1$$P_n e_n = e_1$. Desde $P_n^k \neq I$$k=1,...,n-1$$P_n^n = I$, vemos que los valores propios son las $n$th las raíces de la unidad. Por lo tanto los valores propios de las matrices de permutación $\{P_n\}$ son densos en el círculo unidad.

Tenga en cuenta que $i$ es un autovalor de a $P_4$, por lo tanto, si $ \theta \in (0, { \pi \over 2}]$, podemos ver que $e^{i \theta}$ es un autovalor de a $(\cos \theta) I + (\sin \theta )P_4$.

Tenemos que lidiar con el resto de los casos donde $ \theta \in ({ \pi \over 2}, \pi)$. En particular, podemos encontrar algunos de $P_n$ con un autovalor $e^{i \omega}$ donde ${ \pi \over 2} < \theta < \omega < \pi$. Entonces $e^{i \theta}$ es un autovalor de a $(\cos \theta - {\sin \theta \over \sin \omega} \cos \omega) I + {\sin \theta \over \sin \omega}P_n$ (desde $\cos \theta \sin \omega - \sin \theta \cos \omega = \sin (\omega-\theta)$,$\cos \theta - {\sin \theta \over \sin \omega} \cos \omega \ge 0$).