Ejemplos de aplicaciones de la Borel-Weil-Bott teorema?

Question

En "la teoría del campo Cuántico y el polinomio de Jones" (Comm. De matemáticas. Phys. 1989 vol. 121 (3) p 351-399), Witten escribe:

Una representación R_me de un grupo G debe ser visto como un objeto cuántico. Esta representación debe ser obtenido por la cuantización de una teoría clásica. El Borel-Weil-Bott teorema da una forma canónica a exhibir por cada representación R de un grupo compacto G un problema en la física clásica, con G de simetría, de tal manera que la cuantificación de este problema clásico le da la espalda R como el quantum de espacio de Hilbert. Se introduce el indicador de "colector" G/T, con T ser un toro maximal de G, y para cada representación R uno presenta una estructura simpléctica ω_R en G/T, tal que la cuantización de la clásica espacio de fase G/T, con la estructura simpléctica ω_R, le da la espalda a la representación de R. Muchos aspectos de la teoría de la representación natural explicaciones por lo tanto, sobre las representaciones de grupos como objetos cuánticos, que se obtiene por la cuantización de la física clásica. [página 372; énfasis añadido]

Estoy fascinado con esta idea, yo no lo he visto antes, pero parece natural, en que las clásicas objetos no debe ser lineal, mientras que los objetos cuánticos que debe ser. Estoy más interesado en la última frase: ¿qué ejemplos pueden ustedes venir para arriba con el de la representación de la teoría de los hechos, que puede ser "explicado" por "física" en G/T? (Además, por supuesto, Witten la aplicación en el papel que he citado).

De manera más general, he leído la Wikipedia discusión de la Borel-Weil-Bott teorema, y de hecho algunos al azar buscando en google, pero no he encontrado una escuela primaria descripción de la estructura simpléctica Witten se refiere. Alguien quiere pedantically deletrear Witten comentario, por favor?

Answer 1

McGovern se aplica Borel-Weil-Bott para obtener una ramificación de la regla de G=Spin(7,C) H=G2. El punto principal aquí es que hay parabolics P \subconjunto de G y P \subconjunto H tal que G\P=H\p: Entonces, a través de Borel-Weil-Bott, que reduce el problema de la ramificación uno entre el Levi factores de estos parabolics. La misma idea se aplica a la ramificación de SL(2n,C) Sp(2n,C). El relevante papel es "McGovern, William M. Una ramificación de la ley de Giro(7,C)→G de₂ y sus aplicaciones a unipotentes representaciones. J. Álgebra 130 (1990), no. 1, 166--175."

Answer 2

El ejemplo más concreto de esto es sólo SU(2)/S^1 = S^2. Dependiendo del punto en su(2)* este S^1 se estabiliza, el S^2 tiene diferentes volúmenes. Cuando ese volumen es un entero k, hay una línea asociada bundle O(k), secciones de las cuales son la k+1 niveles en SU(2).

Answer 3

Voy a elaborar, para el ejemplo mencionado por Scott: En la proyección estereográfica de las coordenadas de S², la simpléctica 2-forma está dada por:

ω = dz^dz/(1+zz)²

Clásicamente, se puede construir tres hamiltonianos funciones de representación de los generadores de la Mentira algebra su(2), que constituyen de una subalgebra de la distribución de Poisson álgebra correspondiente a ω

T_X = (z+z)/(1+zz)

T_Y = -i(z-z)/(1+zz)

T_Z = (1-zz)/(1+zz)

Mecánica cuántica, la representación de spin j de SU(2) se realiza en un (a reproducir kernel) espacio de Hilbert generado por holomorphic secciones de una línea de paquete de cuyas expresiones en el estereográfica coordenadas son 1, z, . . . , z^2j. El su(2) se encuentran álgebra se pueden realizar en este espacio por medio de operadores diferenciales:

s_X = -(1-z²)∂/∂z + 2jz

s_Y = -i(1+z²)∂/∂z - 2ijz

s_Z = -2z∂/∂z -2j

Teorías de la geométrica de la cuantización de la oferta sistemática de métodos para realizar estas construcciones en general compacto de Lie del grupo para una realización concreta de la perforación-Weil-Bott teorema.

Me gustaría mencionar que muchos representación teórica de los cálculos pueden ser realizados utilizando esta comprensión de la teoría de la representación de compacto Mentira grupos. También, esta realización está conectado a Perelomov generalizado coherente de los estados.

Hay algunas generalizaciones a las representaciones sobre la no-compacto Mentira grupos. También, el Borel-Weil-Bott teorema puede ser conectado en muchas maneras a la supersimetría.

El "alineamiento" de la mecánica clásica es achievd a través de la realización de la cuántica, el espacio de Hilbert por secciones de una "línea" en su conjunto. Estas secciones también se relaciona esta realización a la geometría proyectiva a través de Kodaira la incrustación de thorem.

Answer 4

Mirar las órbitas de G a g* el doble de la Mentira de álgebra. Estos 'coadjoint órbitas" tiene un simpléctica canónica de la estructura. Cada una de estas órbitas se cruza con el positivo de Weyl cámara exactamente una vez; considerar a aquellos que intersectan en un 'positivo de peso' (es decir, la de los elementos de la g* que eleva a los personajes en T, el máximo de toro). El positivo pesos exactamente clasificar las representaciones irreducibles. Al mismo tiempo, podemos construir una línea de paquete encima de la correspondiente coadjoint órbita de modo que la forma simpléctica se da cuenta de la clase de Chern. Las secciones de este grupo son automáticamente una representación de G, y el Borel-Weil-Bott teorema, en uno de sus más amigable formas, dice que esta es la representación que usted espera, el uno con el peso más alto que hemos empezado.

Genéricamente, una coadjoint órbita es sólo G/T. Cuando no lo es, es una más profunda cociente, pero se puede retroceder el simpléctica canónica de la estructura de G/T, y hacer todo lo que hay. Esta es la estructura simpléctica ω_R Witten se refiere.

Answer 5

Para aplicaciones reales, existen algunos; por ejemplo, en el momento de la imagen del mapa de G/B para el toro de la acción es el casco convexo de que el peso de diagrama, y el peso de multiplicidades son aproximados por el volumen de las fibras.

Hay un negocio similar con el producto tensor de multiplicidades, donde nos fijamos en el momento de la imagen del mapa para G que actúan sobre el producto de dos coadjoint órbitas. Esta forma de una manera de pensar acerca de la convexidad de la compatibilidad de producto tensor de multiplicidades.

Además, si se mira en las dimensiones de las representaciones de $V_{n\lambda}$ para algunos fijos lambda, se obtiene un polinomio de orden de la dimensión de la correspondiente coadjoint órbita, y llevando a término su simpléctica volumen.