Libre functor preservar monomorphism?

Question

La libre functor que queda adjunto a la olvidadizo functor por lo que conserva epimorphism. En la categoría de módulos y álgebras, sino que también conserva monomorphisms (la libre functors ser libre de los módulos y el polinomio de anillos, respectivamente). Es cierto que la libertad de functors preservar monomorphisms?

Edit: Una libre functor es un functor de cemento en la categoría C, que asigna a cada conjunto S de un objeto en C, que es gratuita a través de S. Por ejemplo, para el a-módulos, se asigna un conjunto S a un a-módulo con base S. definición Más detallada se puede encontrar en Wikipedia.

Answer 1

Casi todos los monomorphisms en $\mathbf{Set}$ se divide (por lo tanto, se conservan por cualquier functor que sea), con la salvedad de mapas con dominio vacío. Así que es sólo una cuestión de lo que sucede con los mapas.

Consideramos que la contigüidad $$F \dashv U : \mathcal{C} \to \mathbf{Set}$$ donde los "olvidadizos" functor $U : \mathcal{C} \to \mathbf{Set}$ refleja monomorphisms. (Si $U$ es fiel, a continuación, $U$ refleja monomorphisms. En particular, esto es al $U$ es monádico, por ejemplo,$U : R\mathbf{-Mod} \to \mathbf{Set}$, $U : \mathbf{CRing} \to \mathbf{Set}$ etc.) Ahora considere el $U F(\emptyset \to X)$ para un conjunto no vacío $X$. Hay dos casos:

• Si $U F \emptyset = \emptyset$, $U F (\emptyset \to X)$ es un inyectiva mapa (trivialmente), por lo $F (\emptyset \to X)$ es un monomorphism en $\mathcal{C}$.
• Si $U F \emptyset \ne \emptyset$, entonces existe un mapa de $X \to U F \emptyset$, por lo tanto, una de morfismos $F X \to F \emptyset$ por los adjuntos de la transposición. Pero $F \emptyset$ es el objeto inicial en $\mathcal{C}$, por lo que no hay una única morfismos $F \emptyset \to F X$; por lo tanto el compuesto $F \emptyset \to F X \to F \emptyset$ debe ser la identidad, es decir, los morfismos $F (\emptyset \to X)$ se divide monic.

Por lo $F : \mathbf{Set} \to \mathcal{C}$, de hecho, conserva todos los monomorphisms.

Answer 2

Sí, porque monics en $\mathcal{Set}$ están divididas. Edit: Esto se sostiene solamente con no vacía de conjuntos. Que deja esta respuesta moralmente correcto, pero no necesariamente técnicamente correcta.

Un monomorphism en conjunto es una inclusión, y por lo tanto tendrá una izquierda inversa (la inversa de la imagen de un punto va a ser un singleton o vacío, y podemos definir la inversa de forma arbitraria cuando la inversa de la imagen está vacía). Explícitamente, vamos a $m: X\to Y$ ser monic. A continuación, podemos producir $r:Y\to X$ tal que $r \circ m = \operatorname{id}_X$. Por el contrario, todo con un mapa a la izquierda inversa puede ser cancelado en la izquierda, por lo que cualquier mapa debe ser monic. Hemos demostrado que, en la categoría de $\mathcal{Set}$, cada monic es dividir monic, y que, en cualquier categoría, una división monic es monic.

Si $F$ es un functor $m$ es una división monic, a continuación,$F(r\circ m)=F(r)\circ F(m) = \operatorname{Id}_{F(X)}$, y así dividir monics se conservan por arbitraria functors (covariante) functors. En particular, la libre functors preservar monics.

Answer 3

Deje $U : C \to \mathsf{Set}$ ser un functor y $F : \mathsf{Set} \to C$ a la izquierda adjunto a $U$. La pregunta es si $F$ conserva monomorphisms.

Si $f : X \to Y$ es un monomorphism en $\mathsf{Set}$$X \neq \emptyset$, $f$ es una división monomorphism (acaba de tomar preimages en $f(X)$, y en $Y \setminus f(X)$ mapa de todo a un elemento seleccionado de $X$), por lo tanto también es $F(f)$. Ahora vamos a $X=\emptyset$. Si $Y=\emptyset$, $f$ es un isomorfismo, y por lo tanto también es $F(f)$. De lo contrario, $f$ factores $\{\star\}$, e $\{\star\} \to Y$ es asignado a un monomorphism. Por lo tanto, la cuestión se reduce a que el caso de $Y=\{\star\}$.

Es $F(\emptyset) \to F(\{\star\})$ un monomorphism? Tenga en cuenta que $F(\emptyset)$ es el objeto inicial de $C$ $F(\{\star\})$ es el $C$-objeto en un generador. Si $U$ es monádico, entonces esto resulta ser cierto, de ver el argumento de la página.89-90 en Linton, Coequalizers en categorías de álgebras. (Edit: Como Zhen Lin señala, el mismo argumento funciona al $U$ refleja monomorphisms). Si $C$ es una categoría de estructuras algebraicas, en el sentido de álgebra universal, y $U$ es el olvidadizo functor, a continuación, $U$ es monádico. Para este Beck monadicity criterio es bastante útil. Esto responde a la pregunta en forma afirmativa en muchos de los casos.

También tiene en muchos otros casos, por ejemplo, $\mathsf{Top}$ (aquí se $F$ asigna a un conjunto el correspondiente espacio discreto).

He tratado de encontrar contraejemplos, pero no tuvo éxito hasta el momento.