¿Cómo puedo encontrar el límite de esta función?

Question

Esta es una pregunta de mi texto de cálculo. Dice $$\lim\limits_{x\to1}\left(\frac{p}{1-x^p}-\frac{q}{1-x^q}\right)$$ donde $p$ y $q$ son números naturales. Sé que esta es una forma indeterminada infinito-infinito que se puede convertir en un $0/0$ forma. Intenté sustituir $x=1+h$ donde $h\to0$ . Pero no funciona. ¿Qué debo hacer?

Answer 1

Considerando $$A=\frac{p}{1-x^p}-\frac{q}{1-x^q}$$ dejar $x=1+h$ como tú; así que $$A=\frac{p}{1-(1+h)^p}-\frac{q}{1-(1+h)^q}$$ Ahora, utilizando el teorema del binomio o la serie de Taylor $$(1+h)^a=1+ah+\frac 12a(a-1)h^2+\cdots$$ $$1-(1+h)^a=-ah-\frac 12a(a-1)h^2+\cdots$$ Sustituir $$\frac{a}{1-(1+h)^a}=\frac{a}{-ah-\frac 12a(a-1)h^2+\cdots}=-\frac 1{h}\frac 1 {1+\frac 12 (a-1)h+\cdots}$$ Ahora, la división larga da $$-\frac 1{h}(1-\frac 12 (a-1)h+\cdots)$$ Ahora, sustituyendo $a$ por $p$ y luego $a$ por $q$ da $$A\approx-\frac 1{h}(1-\frac 12 (p-1)h+\cdots)+\frac 1{h}(1-\frac 12 (q-1)h+\cdots)=\frac {p-q} 2+\cdots$$

Utilizando un término más en la expansión binomial y haciendo lo mismo habría dado $$A\approx\frac {p-q} 2+\frac{q^2-p^2}{12}h$$ mostrando el límite y la forma de abordarlo.

Answer 2

El enfoque más sencillo es utilizar el límite estándar $$\lim_{x \to a}\frac{x^{n} - a^{n}}{x - a} = na^{n - 1}\tag{1}$$ Tenemos \begin{align} L &= \lim_{x \to 1}\left(\frac{p}{1 - x^{p}} - \frac{q}{1 - x^{q}}\right)\notag\\ &= \lim_{x \to 1}\frac{p - px^{q} - q + qx^{p}}{(1 - x^{p})(1 - x^{q})}\notag\\ &= \lim_{x \to 1}\dfrac{p - px^{q} - q + qx^{p}}{\dfrac{(1 - x^{p})(1 - x^{q})}{(1 - x)(1 - x)}\cdot(1 - x)^{2}}\notag\\ &= \frac{1}{pq}\lim_{x \to 1}\frac{p - q + qx^{p} - px^{q}}{(1 - x)^{2}}\notag\\ &= \frac{1}{pq}\lim_{h \to 0}\frac{p - q + q(1 + h)^{p} - p(1 + h)^{q}}{h^{2}}\notag\\ &= \frac{1}{pq}\lim_{h \to 0}\dfrac{p - q + q\left(1 + ph + \dfrac{p(p - 1)}{2}h^{2} + \cdots\right) - p\left(1 + qh + \dfrac{q(q - 1)}{2}h^{2} + \cdots\right)}{h^{2}}\notag\\ &= \frac{1}{pq}\lim_{h \to 0}\dfrac{\dfrac{pq(p - q)}{2}\cdot h^{2} + \cdots}{h^{2}}\notag\\ &= \frac{p - q}{2}\notag\\ \end{align} La elipsis ( $\cdots$ ) utilizado anteriormente indica un número finito de términos (basado en enteros positivos $p, q$ ) y cada término es de la forma $c\cdot h^{r}$ donde $r > 2$ . Esto se debe al teorema del binomio estándar para índices enteros positivos. En el caso de los números $p, q$ no son enteros positivos, entonces utilizamos el teorema general del binomio y la elipsis $(\cdots)$ debe ser sustituido por $o(h^{2})$ .

Answer 3

Esto simplemente añade un poco de rigor a la respuesta de Claude Leibovici.

Uso de Landau Notación Big-O , $$ \begin{align} \frac{a}{1-x^a} &=\frac{a}{1-(1+h)^a}\\ &=\frac{a}{1-1-ah-\frac{a(a-1)}2h^2+O\!\left(h^3\right)}\\ &=-\frac1h\frac1{1+\frac{a-1}2h+O\!\left(h^2\right)}\\ &=-\frac1h\left(1-\frac{a-1}2h+O\!\left(h^2\right)\right)\\ &=-\frac1h+\frac{a-1}2+O(h)\\ &=-\frac1{x-1}+\frac{a-1}2+O(x-1)\tag{1} \end{align} $$ Aplicando $(1)$ para $a=p$ y $a=q$ da que $$ \frac{p}{1-x^p}-\frac{q}{1-x^q}=\frac{p-q}2+O(x-1)\tag{2} $$ Por lo tanto, $$ \lim_{x\to1}\left(\frac{p}{1-x^p}-\frac{q}{1-x^q}\right)=\frac{p-q}2\tag{3} $$

Answer 4

Se puede reescribir la función en la forma $$ \frac{p(1-x^q)-q(1-x^p)}{(1-x^p)(1-x^q)} $$ Suponemos que $p>q>1$ para hacer el siguiente cálculo.

Considere $f(x)=qx^p-px^q+p-q$ Así que $f'(x)=pqx^{p-1}-pqx^{q-1}$ y $$ f''(x)=pq(p-1)x^{p-2}-pq(q-1)x^{q-2} $$ Por lo tanto, $f'(1)=0$ y $f''(1)=pq(p-q)$ . Obsérvese que lo mismo ocurre sin condición de $p$ y $q$ (siempre que sean distintos de cero). Por lo tanto, $$ f(x)=\frac{pq(p-q)}{2}(x-1)^2+g(x)(x-1)^3 $$ para algún polinomio $g$ .

Tenga en cuenta también que $$ x^p-1=p(x-1)+g_p(x)(x-1)^2 $$ para algún polinomio $g_p$ , por lo que su límite es $$ \lim_{x\to 1} \frac{\frac{pq(p-q)}{2}(x-1)^2+g(x)(x-1)^3} {(p(x-1)+g_p(x)(x-1)^2)(q(x-1)+g_q(x)(x-1)^2)}=\frac{p-q}{2} $$

Nótese que en realidad la hipótesis de que $p$ y $q$ son enteros no se utiliza realmente. Las anteriores son las expansiones de Taylor en $1$ , donde $g$ , $g_p$ y $g_q$ no son necesariamente polinomios, pero el resultado es el mismo.