Si $P$ es un primer ideal de $R$, $\sqrt{P^{n}}=P\ \forall n\in\mathbb{N}$?

Question

Deje $R$ ser un anillo conmutativo. Si $P$ es un primer ideal de $R$, $\sqrt{P^{n}}=P\ \forall n\in\mathbb{N}$?

Answer 1

Sí que es cierto. Tenga en cuenta que $P^n\subseteq P$ y tomando los radicales de ambos lados da el $\subseteq$ sentido de la igualdad. Así que sólo nos queda probar que $P\subseteq \sqrt{P^n}.$ Supongamos $x\in P.$ $x^n\in P^n$ y, por definición, de la radical, esto implica que $x\in \sqrt{P^n},$ que resuelve el problema.

Answer 2

Utilizando la definición de $\sqrt{I}$ como "la intersección de primer ideales que contienen a $I$," que inmediatamente se que $\sqrt{P^n}\subseteq P$.

Para los otros contención, claramente cualquier prime ideal que contiene a $P^n$ debe contener $P$, por lo que la intersección de tales ideales contiene $P$.

No es positivo lo que su definición es, pero si usted no está familiarizado con este, sería un buen ejercicio para demostrar su equivalencia (para anillos conmutativos) a la otra definición habitual : $\sqrt{I}=\{x\in R\mid \exists n\in \Bbb N^+( x^n\in I)\}$.