Para una función de $f\in L^1(\mathbb{R})$, su transformada de Fourier se define como $$\hat{f}(y)=\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-ixy}dx$$
Para una función de $f\in L^2(\mathbb{R})$, su transformada de Fourier se define como el único de asignación continua $g:L^2(\mathbb{R})\rightarrow L^2(\mathbb{R})$ que se extiende la asignación de $h:S\rightarrow L^2(\mathbb{R})$ donde $S$ es el de Schwartz de la clase, y la transformada de Fourier de una función en el Schwartz clase se define como en el primer párrafo. (Asumimos que esta asignación continua $g$ existe y es único.)
Supongamos $f\in L^2(\mathbb{R})$, y deje $c>0$. Mostrar que $$\lim_{c\rightarrow\infty}\int_{-c}^cf(x)e^{-ixy}dx$$ exists in the $L^2$ sense and is equal to $\hat{f}$ se define anteriormente.
Definir $f_c(x)$ $f(x)$ al $|x|\leq c$ $0$ al $|x|>c$. A continuación, el límite en cuestión es $$\lim_{c\rightarrow\infty}\int_{-\infty}^\infty f_c(x)e^{-ixy}dx$$
Las preguntas son:
1) ¿por Qué este límite existe?
2) ¿por Qué la igualdad de $\hat{f}$ definida como la extensión única de las Schwartz clase?
Sabemos por el teorema de convergencia dominada de que $\|f_c-f\|_2\rightarrow 0$$c\rightarrow\infty$. Puede que la ayuda?
