¿Por qué la aplicación de la probabilidad en Mecánica Cuántica es fundamentalmente diferente de la aplicación de la probabilidad en otras áreas?

Question

¿Por qué la aplicación de la probabilidad en Mecánica cuántica (QM) fundamentalmente diferente de su aplicación en otros ámbitos? La QM aplica la probabilidad según el mismo axiomas de probabilidad como en otras áreas de la física, la ingeniería, etc.

¿Por qué hay diferencias?

Ingenuamente, uno supondría una de estas posibilidades:

1. Es no la misma probabilidad (¿teoría?)

2. Es una cuestión de interpretación (¿del formalismo?)

3. ¿Algo más?

Muchas respuestas (que todavía estoy estudiando) se centran en el hecho de que la probabilidad combinada de dos sucesos mutuamente excluyentes en QM es no igual a la suma de las probabilidades de cada suceso (lo que se cumple clásicamente por definición). Este hecho (al parecer) hace necesaria la formulación de otra probabilidad (cuántica).

Sin embargo, esto se reduce de nuevo a supuestamente independiente o se suponen mutuamente excluyentes Si no es así, se aplica la "probabilidad clásica" (como en otros ámbitos). Este es uno de los puntos principales de la pregunta.

Answer 1

La teoría de la probabilidad utilizada en QM es intrínsecamente diferente de la utilizada habitualmente por la siguiente razón: El espacio de sucesos es no distributiva (más propiamente no booleano ) y este hecho afecta profundamente a la probabilidad condicional teoría. La probabilidad de que ocurra A si ha ocurrido B se calcula de forma diferente en la teoría clásica de la probabilidad y en la teoría cuántica, cuando A y B son eventos cuánticos incompatibles . En ambos casos la probabilidad es un medir en un celosía pero, en el caso clásico, la red es un Booleano uno (a $\sigma$ -álgebra), en el caso cuántico no lo es.

Para ser más claros, la probabilidad clásica es un mapa $\mu: \Sigma(X) \to [0,1]$ tal que $\Sigma(X)$ es una clase de subconjuntos del conjunto $X$ incluyendo $\emptyset$ cerrado con respecto al complemento y a la unión contable, y tal que $\mu(X)=1$ y: $$\mu(\cup_{n\in \mathbb N}E_n) = \sum_n \mu(E_n)\quad \mbox{if $ E_k \in \Sigma(X) $ with $ E_p\cap E_q= \emptyset $ for $ p\neq q $.}$$ Los elementos de $\Sigma(X)$ son los sucesos cuya probabilidad es $\mu$ . Desde este punto de vista, por ejemplo, si $E,F \in \Sigma(X)$ , $E\cap F$ se interpreta lógicamente como el acontecimiento " $E$ Y $F$ ". Del mismo modo $E\cup F$ corresponde a " $E$ O $F$ " y $X\setminus F$ tiene el significado de "NO $F$ "etc. La probabilidad de $P$ cuando $Q$ se da verifica $$\mu(P|Q) = \frac{\mu(P \cap Q)}{\mu(Q)}\:.\tag{1}$$

En cambio, si se considera un sistema cuántico, hay "sucesos", es decir, proposiciones elementales "sí/no" comprobables experimentalmente, que no pueden unirse mediante los operadores lógicos AND y OR.

Por ejemplo $P=$ "la $x$ componente del espín de este electrón es $1/2$ " y $Q=$ "la $y$ componente es $1/2$ ". No existe ningún dispositivo experimental capaz de asignar un valor de verdad a $P$ y $Q$ simultáneamente de modo que proposiciones elementales como " $P$ y $Q$ "no tienen sentido. Pares de proposiciones como $P$ y $Q$ arriba son físicamente incompatibles .

En las teorías cuánticas (la versión más elemental se debe a von Neumann), los sucesos de un sistema físico se representan mediante los proyectores ortogonales de un espacio de Hilbert separable $H$ . El conjunto ${\cal P}(H)$ de esos operadores sustituye al clásico $\Sigma(X)$ .

En general, el significado de $P\in {\cal P}(H)$ es algo como "el valor del observable $Z$ pertenece al subconjunto $I \subset \mathbb R$ "para algún observable $Z$ y algún conjunto $I$ . Existe un procedimiento para integrar tal clase de proyectores etiquetados en subconjuntos reales para construir un operador autoadjunto $\hat{Z}$ asociado al observable $Z$ y esto no es más que el significado físico de la teorema de descomposición espectral .

Si $P, Q \in {\cal P}(H)$ hay dos posibilidades: $P$ y $Q$ viaje al trabajo o lo hacen no .

El axioma fundamental de Von Neumann establece que la conmutatividad es el correspondiente matemático de la compatibilidad física .

En $P$ y $Q$ desplazamientos, $PQ$ y $P+Q-PQ$ siguen siendo proyectores ortogonales, es decir, elementos de ${\cal P}(H)$ .

En esta situación, $PQ$ corresponde a " $P$ Y $Q$ ", mientras que $P+Q-PQ$ corresponde a " $P$ O $Q$ "y así sucesivamente, en particular "NOT $P$ "se interpreta siempre como el proyector ortogonal sobre $P(H)^\perp$ (el subespacio ortogonal de $P(H)$ ), y todo el formalismo clásico se cumple así. De hecho, un máximo conjunto de proyectores conmutables por pares tiene propiedades formales idénticas a las de la lógica clásica: es booleana $\sigma$ -álgebra.

En esta imagen, un estado cuántico es un mapa que asigna la probabilidad $\mu(P)$ que $P$ se verifica experimentalmente a cada $P\in {\cal P}(H)$ . Tiene que satisfacer: $\mu(I)=1$ y $$\mu\left(\sum_{n\in \mathbb N}P_n\right) = \sum_n \mu(P_n)\quad \mbox{if $ P_k \in {\cal P}(H) $ with $ P_p P_q= P_qP_p =0 $ for $ p\neq q $.}$$

Celebrado Teorema de Gleason establece que, si $\text{dim}(H)\neq 2$ las medidas $\mu$ son todos de la forma $\mu(P)= \text{tr}(\rho_\mu P)$ para algún estado mixto $\rho_\mu$ (un operador de clase de traza positiva con traza unitaria), determinado biunívocamente por $\mu$ . En el conjunto convexo de estados, el extremo son los elementos estándar estados puros . Están determinados, hasta una fase, por vectores unitarios $\psi \in H$ de modo que, con algún cálculo trivial (completando $\psi_\mu$ a una base ortonormal de $H$ y utilizando esa base para calcular la traza), $$\mu(P) = \langle \psi_\mu | P \psi_\mu \rangle = ||P \psi_\mu||^2\:.$$

(Actualmente, existe una versión generalizada de esta imagen, en la que el conjunto ${\cal P}(H)$ se sustituye por la clase de operadores positivos acotados en $H$ (los llamados "efectos") y el teorema de Gleason se sustituye por Teorema de Busch con una declaración muy similar).

La probabilidad cuántica viene dada, por tanto, por el mapa, para un estado generalmente mixto dado $\rho$ , $${\cal P}(H) \ni P \mapsto \mu(P) =\text{tr}(\rho_\mu P) $$

Está claro que, en cuanto se trata de físicamente incompatibles propuestas , (1) no puede sostener sólo porque no hay nada como $P \cap Q$ en el conjunto de proposiciones cuánticas físicamente sensibles. Todo ello se debe a que el espacio de sucesos ${\cal P}(H)$ es ahora un no conmutativo conjunto de proyectores, dando lugar a una red no booleana.

La fórmula que sustituye a (1) es ahora:

$$\mu(P|Q) = \frac{\text{tr}(\rho_\mu QPQ)}{\text{tr}(\rho_\mu Q)}\tag{2}\:.$$

En ella, $QPQ$ es un proyector ortogonal y puede interpretarse como " $P$ Y $Q$ " (es decir, $P\cap Q$ ) cuando $P$ y $Q$ son compatibles. En este caso (1) vuelve a ser cierta. (2) da lugar a todas las "cosas extrañas" que aparecen en los experimentos cuánticos (como en el de la doble rendija). En particular, el hecho de que, en QM, las probabilidades se calculan combinando complejos amplitudes de probabilidad se deduce de (2).

(2) sólo se basa en la postulado de reducción de von Neumann-Luders que establece que, si el resultado de la medición de $P\in {\cal P}(H)$ es SÍ cuando el estado era $\mu$ (es decir, $\rho_\mu$ ), el estado inmediatamente después de la medición es $\mu'$ asociado a $\rho_{\mu'}$ con

$$\rho_{\mu'} := \frac{P\rho_\mu P}{\text{tr}(\rho_\mu P)}\:.$$

ADDENDUM . En realidad, es posible ampliar la noción de operadores lógicos AND y OR para todos los pares de elementos en ${\cal P}(H)$ y ese fue el programa de von Neumann y Birkhoff (el lógica cuántica ). De hecho, sólo el celosía estructura de ${\cal P}(H)$ lo permite, o mejor es lo. Con esta noción ampliada de AND y OR, " $P$ Y $Q$ "es el proyector ortogonal sobre $P(H)\cap Q(H)$ mientras que " $P$ O $Q$ "es el proyector ortogonal sobre la clausura del espacio $P(H)+Q(H)$ . En $P$ y $Q$ conmutar estas nociones de AND y OR se reducen a las estándar. Sin embargo, con la ampliado definiciones, ${\cal P}(H)$ se convierte en celosía en el sentido matemático propio, donde la relación de orden parcial viene dada por la inclusión estándar de subespacios cerrados ( $P \geq Q$ significa $P(H) \supset Q(H)$ ). La cuestión es que el físico La interpretación de esta ampliación de AND y OR no está clara. Sin embargo, la red resultante no es booleana. En otras palabras, por ejemplo, estos AND y OR extendidos no son distributivos como lo son los AND y OR estándar (esto revela su naturaleza cuántica). Sin embargo, manteniendo también la definición de "NOT $P$ "como proyector ortogonal sobre $P(H)^\perp$ la estructura encontrada de ${\cal P}(H)$ es bien conocida: A $\sigma$ -completo, acotado, ortomodular, separable, atómico, irreducible y verificando la propiedad de cobertura, lattice. Alrededor de 1995, Solér demostró definitivamente una conjetura de von Neumann según la cual sólo existen tres posibilidades para la realización práctica de dichos entramados: El enrejado de proyectores ortogonales en un separable complejo Hilbert, la red de proyectores ortogonales en un espacio separable real Hilbert, la red de proyectores ortogonales en un espacio separable cuaterniónico Espacio de Hilbert.

El teorema de Gleason es válido en los tres casos. La extensión al caso cuaterniónico fue obtenida por Varadarajan en su famoso libro 1 sobre la geometría de la teoría cuántica, sin embargo una laguna en su prueba ha sido corregida en este artículo publicado del que soy coautor 2

Suponiendo la simetría de Poincaré, al menos para los sistemas elementales (partículas elementales), se puede descartar el caso de los espacios de Hilbert reales y cuaterniónicos (aquí hay un par de trabajos publicados de los que soy coautor sobre el tema: 3 y 4 ).

ADDENDUM2 . Tras una discusión con Harry Johnston, creo que merece la pena mencionar una observación interpretativa sobre el contenido probabilístico del estado $\mu$ dentro de la imagen que he ilustrado anteriormente. En QM $\mu(P)$ es la probabilidad de que, si realizo un determinado experimento (para comprobar $P$ ), $P$ resultaría ser cierto. Parece que aquí hay una diferencia con respecto a la noción clásica de probabilidad aplicada a los sistemas clásicos. Allí, la probabilidad se refiere principalmente a algo ya existente (y a nuestro conocimiento incompleto de ello). En la formulación de QM que he presentado antes, la probabilidad se refiere en cambio a lo que sucederá si...

ADDENDUM3 . Para $n=1$ el teorema de Gleason es válido y trivial. Para $n=2$ existe un contraejemplo conocido. $\mu_\nu(P)= \frac{1}{2}(1+ (v \cdot n_P)^3)$ donde $v$ es un vector unitario en $\mathbb R^3$ y $n_P$ es el vector unitario en $\mathbb R^3$ asociado al proyector ortogonal $P: \mathbb C^2 \to \mathbb C^2$ en la esfera de Bloch: $P= \frac{1}{2} \left(I+\sum_{j=1}^3 n_j \sigma_j \right)$ .

ADDENDUM4 . Desde la perspectiva de la probabilidad cuántica, el postulado de reducción de von Neumann-Luders tiene una interpretación muy natural. Supongamos que $\mu$ es una medida de probabilidad sobre la red cuántica ${\cal P}(H)$ que representa un estado cuántico y suponer que la medición de $P \in {\cal P}(H)$ en ese estado, tiene como resultado $1$ . Por lo tanto, el estado posterior a la medición está representado por $\mu_P(\cdot) = \mu(P \cdot P)$ , a la vista del postulado antes mencionado.

Es fácil demostrar que $\mu_P : {\cal P}(H) \to [0,1]$ es la única medida de probabilidad tal que $$\mu_P(Q) = \frac{\mu(Q)}{\mu(P)} \quad \mbox{if $ Q \leq P $}\:.$$

Answer 2

Después de pensarlo un poco más, hay una diferencia filosófica inequívoca, con implicaciones prácticas. El experimento de las dos rendijas es un buen ejemplo de ello.

En un universo clásico, cualquier fotón que impacte en la pantalla puede haber pasado por la rendija A o por la rendija B. Aunque no nos molestáramos en medirlo, una cosa u otra seguiría ocurriendo, y podemos definir con sentido $P(A)$ y $P(B)$ .

En un universo cuántico, si no nos molestáramos en medir por qué rendija ha pasado un fotón, entonces no es cierto que pasó por una u otra rendija. Se podría decir que pasó por ambas, aunque eso no es del todo cierto; lo único que podemos decir es que "pasó por las rendijas".

(Preguntar por qué rendija pasó un fotón en el experimento de las dos rendijas es como preguntar cuál es la religión del fotón. Simplemente no es una pregunta con sentido).

Eso significa que $P(A)$ y $P(B)$ simplemente no existen. Aquí es donde entra en juego una de las implicaciones prácticas: si no entiendes bien la QM [estoy mintiendo un poco aquí; volveré a ello], entonces aún puedes calcular una probabilidad de que la partícula haya pasado por la rendija A y una probabilidad de que haya pasado por la rendija B. Y luego, cuando intentas aplicar las matemáticas habituales a esas probabilidades, no funciona, y entonces empiezas a decir que la probabilidad cuántica no sigue las mismas reglas que la probabilidad clásica.

(En realidad, lo que estás haciendo es calcular cuáles habrían sido las probabilidades de que se produjeran esos acontecimientos). si que había elegido para medirlos. Como no lo hiciste, no tienen sentido y las matemáticas no se aplican).

Entonces: la diferencia filosófica es que cuando se estudian sistemas cuánticos, a diferencia de los sistemas clásicos, la probabilidad de que algo hubiera sucedido si La implicación práctica es que hay que llevar un registro de lo que se ha medido o no para evitar hacer un cálculo inválido.

(En los sistemas clásicos, la mayoría de las preguntas sintácticamente válidas tienen sentido. En mecánica cuántica, la mayoría de las preguntas son no significativas y hay que saber lo que se hace para encontrar las que lo son).

Tenga en cuenta que llevar la cuenta de si ha medido algo o no no es un ejercicio abstracto restringido a los casos en los que intenta aplicar la teoría de la probabilidad. Tiene un impacto directo y concreto en el experimento: en el caso del experimento de las dos rendijas, si se mide por qué rendija pasó cada fotón, el desaparece el patrón de interferencia .

(Más complicado aún: si se mide por qué rendija ha pasado cada fotón, y luego se borran correctamente los resultados de esa medición avant mirando la película, el patrón de interferencia vuelve a aparecer).

PD: puede que sea injusto decir que calcular una probabilidad "hubiera" significa que no se entiende bien la QM. Puede significar simplemente que estás eligiendo conscientemente utilizar una interpretación diferente de la misma, y prefieres modificar o generalizar tu concepción de la probabilidad según sea necesario. La respuesta de V. Moretti entra en algunos detalles sobre cómo se puede hacer esto. Sin embargo, aunque este tipo de cosas es interesante, no me parece que tenga una utilidad evidente. (Por ejemplo, no está claro que permita comprender la desaparición y reaparición del patrón de interferencia descrito anteriormente).

Adenda: que ha quedado más claro tras la discusión en los comentarios. Parece que se piensa que la formulación alternativa puede tener ventajas cuando se trata de escenarios más complicados (la QFT en el espaciotiempo curvo se mencionó como un ejemplo). Eso es totalmente plausible, y desde luego no pretendo insinuar que el trabajo carezca de valor; sin embargo, todavía no tengo claro que sea pedagógicamente útil como alternativa al enfoque convencional a la hora de aprender QM básica.

PPS: dependiendo de la interpretación, puede haber otras diferencias filosóficas relacionadas con la naturaleza o el origen del azar. Creo que la estadística bayesiana es lo suficientemente amplia como para que estas diferencias no tengan gran importancia, e incluso desde un punto de vista frecuentista no creo que tengan implicaciones prácticas.

Answer 3

Las probabilidades en QM vienen dadas por las amplitudes al cuadrado de los términos relevantes en la función de onda, o por el valor de expectativa del proyector relevante o POVM. Sin embargo, no se da el caso de que esos números actúen siempre de forma coherente con el cálculo de probabilidades.

Por ejemplo, si hay dos formas mutuamente excluyentes de que ocurra un suceso, el cálculo de probabilidades diría que la probabilidad de ese suceso es la suma de las probabilidades de que ocurra de cada una de esas formas. Pero en los experimentos de interferencia de un solo fotón esto no parece funcionar. Hay dos rutas a través del interferómetro, el fotón no puede ser detectado en ambas rutas a la vez, por lo que son mutuamente excluyentes, ¿verdad? Entonces, para obtener la probabilidad de que el fotón emerja por un puerto concreto en el otro extremo, sólo hay que sumar la probabilidad de que vaya por cada ruta. Pero ese cálculo da una respuesta errónea: puedes obtener la probabilidad que quieras cambiando las longitudes de las rutas ver:

http://arxiv.org/abs/math/9911150 .

Entonces se plantea el problema de explicar en qué circunstancias se aplica el cálculo de probabilidades.

Usted pregunta por los enfoques frecuentistas de la probabilidad cuántica. Existen algunos de ellos, como el artículo de Hugh Everett de 1957 y su tesis doctoral:

http://www-tc.pbs.org/wgbh/nova/manyworlds/pdf/dissertation.pdf .

Creo que estos argumentos no funcionan porque el propio enfoque de la frecuencia no funciona. ¿Por qué la frecuencia relativa sobre un número infinito de muestras tendría algo que ver con lo que se observa en un laboratorio? Y si hay alguna explicación, entonces ¿por qué nos molestamos con esto de la frecuencia relativa en lugar de utilizar la explicación real? La mejor explicación de por qué es aplicable es el enfoque de la teoría de la decisión:

http://arxiv.org/abs/quant-ph/9906015

http://arxiv.org/abs/0906.2718 .

El mejor intento de explicar las circunstancias en las que se mantiene viene dado por los requisitos que la mecánica cuántica impone a las circunstancias en las que se puede copiar la información:

http://arxiv.org/abs/1212.3245 .

Answer 4

La aplicación de la probabilidad en ámbitos distintos de la mecánica cuántica es una forma inteligente de modelizar situaciones lo suficientemente complejas como para que el análisis exacto no sea factible, o al menos resulte muy tedioso.

Por otro lado en QM la naturaleza es inherentemente probabilística. Cuando se hace una observación, el estado cuántico en el que se encuentra el sistema tiene una probabilidad para cada resultado posible. No es más un truco para hacer cálculos. Es una característica de la naturaleza. Esa es la diferencia.

Answer 5

Tal vez encuentre el ensayo La teoría cuántica a partir de cinco axiomas razonables por Lucien Hardy interesante. En el resumen dice:

En este documento se que la teoría cuántica puede derivarse de cinco axiomas axiomas muy razonables. Los cuatro primeros de estos axiomas son obviamente consistentes tanto con la teoría cuántica como con la teoría clásica de la probabilidad. El axioma 5 (que requiere que existan transformaciones reversibles continuas entre estados puros) excluye la teoría teoría clásica de la probabilidad.