Cómo el producto de las dos integrales se itera integral? $\int \int = \iint$

Question

Deje $\large{I} = \Large \int_{-\infty}^{\infty} \normalsize e^{\small -\frac{y^2}{2}}\ dy$.

Entonces, mi libro de texto dice:

$$\etiqueta{1} I^2 = \left( \int_{-\infty}^{\infty} \normalsize e^{\small -\frac{y^2}{2}}\ dy\ \right) \left( \int_{-\infty}^{\infty} \normalsize e^{\small -\frac{x^2}{2}}\, dx\ \right) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(y^2 +x^2)/2}\ dy\, dx $$

No estoy viendo la forma de cómo llegar a la derecha, la integral iterada, y no recuerdo el cálculo de cómo o por qué funciona esto. ¿Por qué podemos reformular el producto de las dos integrales, teniendo cada uno de funcions de diferentes variables, como una integral iterada, incluyendo ambas variables?

Deje $\large{I} = \Large \int_{-\infty}^{\infty} \normalsize f_y(y)\ dy$ para cualquier continua, diferenciable $ f_y: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

Ahora bien, (2) en general, $\forall x, y \in \mathbb{R}$ ? $$\etiqueta{2} I^2 = \left( \int_{-\infty}^{\infty} \normalsize f_y(y)\ dy\ \right) \left( \int_{-\infty}^{\infty} \normalsize f_x(x)\, dx\ \right) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f_y(y)f_x(x) dy\, dx $$

o es el resultado(1) específico para la función particular $e^{-(y^2)/2}$?

Por favor, mostrar el trabajo o el razonamiento detrás de cómo y por qué esta transformación es válida.

Answer 1

Nota primera, que por cualquier integrable $f \colon \def\R{\mathbb R}\R \to \R$ y cualquier $\alpha \in \R$ hemos $$ \int_\R \alpha f(x)\, dx = \alpha \int_\R f(x) \, dx $$ Ahora tenga en cuenta que con $\alpha := \int_\R f(y)\, dy$ (esto depende de la $f$, pero dado $f$ es una constante) esto le da $$ \int_\R \left(\int_\R f(y)\, dy\right)\, f(x)\, dx = \int_\R f(y)\, dy \cdot \int_\R f(x)\, dx $$ Ahora, por cada fijos $x \in \R$, se aplica el de arriba otra vez, ahora para $\alpha = f(x)$ (que no es dependiendo $y$), dando $$ \left(\int_\R f(y)\, dy\right)\, f(x) = \int_\R f(x)f(y)\, dy $$ en total $$ \int_\R \int_\R f(y)f(x)\, dy\, dx = \int_\R f(y)\, dy \cdot \int_\R f(x)\, dx $$

Answer 2

Uno debe ser cuidadoso de que la única integrales convergen absolutamente. Esto crea problemas con las integrales, tales como las integrales de Fresnel, que no puede ser directamente evaluados de esta manera.