Vamos a empezar usando la notación similar a la del ejemplo vinculado a:
$$
\ddot{y}+b\dot{y}+\sin(y)=a\cos(ct)+d
$$
Como en el ejemplo, vamos a escribir esto en forma autónoma:
$$
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y\\\dot{y}\\ct\end{pmatrix}
$$
la ecuación diferencial puede ahora escribirse:
$$
\mathbf{\dot{x}}=\begin{pmatrix}\dot{x_1}\\\dot{x_2}\\\dot{x_3}\end{pmatrix}=\mathbf{f(x)}=\begin{pmatrix}x_2\\-bx_2-\sin{x_1}+a\cos{x_3}+d\\c\end{pmatrix}
$$
Ahora, supongamos que el estudio de la evolución del dos puntos de partida diferentes en este sistema que se arbitraily cerca. Vamos a denotar la trayectoria de uno de ellos con $\mathbf{x}(t)$ y el otro con $\mathbf{x}(t)+\mathbf{z}(t)$ donde $\mathbf{z}(t)$ es el vector de la diferencia entre los dos puntos. El tiempo derivado de la $\mathbf{z}(t)$ puede ser escrita:
$$
\mathbf{\dot{z}}=\mathbf{f(x+z)}-\mathbf{f(x)}
$$
Si $\mathbf{z}$ es lo suficientemente pequeño esto puede ser escrita:
$$
\mathbf{\dot{z}}=\mathbf{Jz}
$$
donde $\mathbf{J(x)}$ es el Jacobiano de $\mathbf{f(x)}$:
$$
\mathbf{J}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ -\cos{x_1} & -b & -a\sin{x_3}\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
$$
Durante un corto período de $\delta t$, el cambio en el $\mathbf{z}$ está dada por:
$$
\mathbf{z}(t+\delta t)=\mathbf{z}(t)+\delta t\mathbf{Jz}(t)=(\mathbf{I} +\delta t\mathbf{J})\mathbf{z}(t)
$$
Asumiendo $\mathbf{z}$ $\delta t$ son lo suficientemente pequeños para que las alineaciones para sostener podemos decribe el cambio en $\mathbf{z}$ desde el tiempo de $t_1$ $t_2$con:
$$
\mathbf{z}(t_2)=\left[\prod_i(\mathbf{I} +\delta t_i\mathbf{J}(\mathbf{x}_i))\right]\mathbf{z}(t_1)
$$
donde $\delta t_i$ son lo suficientemente pequeños intervalos de tiempo de $t_1$ $t_2$ $\mathbf{x}_i$ $\mathbf{x}$en aquellos tiempos.
Lo que usted necesita hacer para calcular el Lyaponov exponentes de este sistema es numéricamente resolver la trayectoria de $\mathbf{x}(t)$ para un punto de partida arbitrario $\mathbf{x}_0$ durante un largo intervalo de tiempo $T$. Entonces usted necesita para calcular la matriz $\mathbf{A}$:
$$
\mathbf{A}=\prod_i(\mathbf{I} +\delta t_i\mathbf{J}(\mathbf{x}_i))
$$
utilizando los valores de $\delta t_i$ $\mathbf{x}_i$ desde el solucionó trayectoria. Entonces tiene que calcular los autovalores de a $\mathbf{A}$. Vamos a llamarlos $\alpha_1$, $\alpha_2$ y $\alpha_3$. El lyaponov exponentes están dados por:
$$
\lambda_i=\frac{1}{T}\log{\alpha_i}
$$
asumiendo $T$ es lo suficientemente largo. Usted necesita para experimentar con diferentes $\mathbf{x}_0$$T$. Con suerte, las variaciones en el Lyaponov exponentes calcular para diferentes $\mathbf{x}_0$ disminuirá con el mayor $T$ y convergen suficientemente grande $T$.
Uno de los problemas es casi seguro es que los valores de $\mathbf{A}$ va a ser demasiado grande como para manejar de forma numérica. La manera de conseguir alrededor de esto es seguir la pista de la magnitud de $\mathbf{A}$ como se calcula de forma iterativa y normalizar siempre que su valor más alto alcanza un cierto umbral. La normalización de los factores debe ser guardado cada vez que esto está hecho. Suponiendo que esto ha sido hecho con el fin de tener una matriz de $\mathbf{B}$ y una serie de normalización de los factores de $N_j$ (en mi notación $N_j$ son los valores que se han dividido por cuando normalización) relativos a $\mathbf{A}$ como:
$$
\mathbf{A}=\left(\prod_j N_j\right)\mathbf{B}
$$
Si $\beta_i$ son los autovalores de a $\mathbf{B}$, el Lyaponov exponentes puede ser calculado como:
$$
\lambda_i=\frac{1}{T}\left(\log{\beta_i}+\sum_j\log{N_j}\right)
$$
Por lo general es el más grande de la Lyaponov exponentes que es de interés, ya que dominarán el crecimiento exponencial en $\mathbf{z}$. Al menos uno de los Lyaponov exponentes debe ser positivo para que el sistema caótico.
Es importante entender que el $\mathbf{z}$ debe ser pensado como un vector que sigue siendo muy pequeña a lo largo del período $T$. Esto podría ser un poco contra-intuitivo, ya que crece de manera exponencial. Sin embargo, para cualquier finito $T$, el valor inicial de $\mathbf{z}$ siempre puede ser elegido lo suficientemente pequeño como para asegurarse de que reamins suficientemente pequeños durante el período de tiempo.
