Herstein Pregunta: $G^{i}$ normal en $G$?

Question

Sólo quería hacerle una pregunta rápida. Voy para la segunda edición de I. N. Herstein los temas de álgebra y uno de sus ejercicios le pide al lector demostrar que cada una de las $G^{i}$ es un subgrupo normal de G donde: $G^{i}$ $i^{th}$ conmutador de grupo.

Ahora creo que fue capaz de demostrar $G^{i}$ es normal en $G^{i+1}$ donde $G^{i}$ es el colector de un grupo de $G^{i+1}$:

Deje $g \in G^{i+1}, h \in G^{i}$. Cada $h \in G^{i+1}$ desde $h=g_{1}^{-1}g_{2}^{-1}g_{1}g_{2} \in G^{i+1}$ desde $G^{i+1}$ es un grupo.

Así

$(gh_{1}g^{-1}h_{1}^{-1} \in G^{i}) \Rightarrow (gh_{1}g^{-1}h_{1}^{-1}=h_{2}) \Rightarrow (gh_{1}=h_{2}h_{1}g) \Rightarrow (gh_{1}=h_{3}g)$

Por lo $G^{i}$ es normal en $G^{i+1}$.

Estoy viendo cómo esto se relaciona con la solución de los grupos a través de la composición de la serie. Sin embargo no parece necesario tener todos los $G^{i}$ normal para todo el grupo G. Nosotros realmente sólo necesita $G^{i}$ normal en $G^{i+1}$. Es absolutamente necesario puedo demostrar la propiedad adicional de su normalidad en G? Supongo que por el bien de la curiosidad que me podría volver a probar la proposición, pero, por ahora, puedo pasar sin ser retrasado por que? Me gustaría llegar a la más emocionante. También es mi prueba correcta?

Gracias de antemano!!

Answer 1

Bien, usted seguramente sabe que la derivada de los subgrupos $G'$ es normal, de hecho característico, en $G$. Por lo $G^{i+1} = (G^{i})'$ es característico en $G^{i}$.

Ahora, por el procedimiento de la inducción, asumiendo $G^{i}$ normal en $G$, ya que el $G^{i+1}$ es característico en $G^{i}$, $G^{i+1}$ es normal en $G$.

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Anexo Quizás se puede mencionar que cada una de las $G^{i}$ es un subgrupo invariante de $G$, es decir, es enviado al mismo endomorfismo de $G$. La razón es que el $G^{i}$ es verbal subgrupo, es decir, que es generado por los valores tomados en $G$ por una determinada palabra. La palabra en cuestión es $$[x_{1}, x_{2}]$$ para $G^{2}$, $$[[x_{1}, x_{2}],[x_{3},x_{4}]]$$ para $G^{3}$, y así sucesivamente. Aquí $[y,z] = y^{-1} z^{-1} y z$ es el colector.

Answer 2

La afirmación es verdadera porque el colector de subgrupo es aún más especial que un subgrupo normal: es también una característica de los subgrupos.

Entonces usted puede fácilmente mostrar otro lema:

Una característica de los subgrupos de una característica subgrupo de $G$ es una característica de los subgrupos de $G$.

A continuación, se le han demostrado que todos los derivados de los subgrupos de G son característicos, por lo tanto normal en G.

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Hay otro poco de ejercicio relacionado con el anterior: una característica subgrupo normal de un subgrupo de G es un subgrupo normal de G.

Answer 3

Sugerencia: Probar $G^{i+1}$ es característico en $G^i$. Esto proporciona una inducción paso.

Answer 4

Desde $[H,K]^g = [H^g, K^g]$, se deduce que

$$(G^i)^g = [(G^{i-1})^g, (G^{i-1})^g]$$

así que, claramente, $G^i$ es un subgrupo normal.