Ejemplo de anillos de la misma característica positiva que no se incrustan en su producto tensorial?

Question

Estoy superando mi miedo a los productos tensores, y el siguiente ejercicio me hizo reflexionar:

Dé un ejemplo de anillos conmutativos $A$ y $B$ con $\operatorname{char}A=\operatorname{char}B$ tal que el mapa $$A \longrightarrow\ A\otimes_{\Bbb{Z}}B:\ a\ \longmapsto\ a\otimes1,$$ es no inyectiva.

Ejemplos con $\operatorname{char}A\neq\operatorname{char}B$ son, por supuesto, abundantes, y los ejemplos con $\operatorname{char}A=\operatorname{char}B=0$ tampoco son demasiado difíciles. Pero no soy capaz de encontrar un ejemplo con $\operatorname{char}A=\operatorname{char}B>0$ . Un ejemplo sería muy bienvenido, pero también se agradecería mucho (¿o más?) una pista sobre dónde buscar uno.

Answer 1

De entrada, creo que esto no se puede hacer. Suponiendo que no hay nada malo en la siguiente prueba:

Supongamos que $A$ y $B$ son anillos de característica $m$ y que $a \otimes 1 = 0$ en $A \otimes_\mathbb{Z} B$ para algunos $a \in A$ .

Esto significa que debemos tener $n \in \mathbb{Z}$ y $b \in B$ tal que $1 = n b$ y $n a = 0$ para que $$a \otimes 1 = a \otimes (n b) = (n a) \otimes b = 0 \otimes b = 0.$$

Ahora tenemos ambos $m a = 0$ y $n a = 0$ por lo que mediante el algoritmo euclidiano vemos que $$\gcd(m, n) a = 0.$$

Por otro lado, tenemos $m b = 0$ y $n b = 1$ . Escriba $m = \gcd(m, n) \, m'$ . Entonces tenemos

$$m' (1) = m' (n b) = (m' n) b = 0$$

desde $m = m' \gcd(m, n)$ divide $m' n$ . Desde $m'(1) = 0$ en $B$ , $0 < m' \leq m$ y $B$ es de la característica $m$ Esto significa que $m'=m$ es decir $\gcd(m,n)=1$ . Desde arriba, esto dice que $1 \cdot a = 0$ es decir $a = 0$ .