¿Tiene algo que ver el giro con la velocidad de cambio?

Question

El momento angular orbital de una partícula puede relacionarse con la revolución de esa partícula alrededor de algún eje externo. Pero en mecánica cuántica, el momento angular de espín de una partícula no puede considerarse realmente como la rotación de la partícula alrededor de su propio eje. Esto se debe a varias razones. Por un lado, es necesario girar el estado de espín de un electrón 720 grados, no 360, para recuperar el estado de espín original, que no es como funcionan las rotaciones. Por otra parte, como discuto ici Goudsmit y Uhlenbeck demostraron que si el giro de un electrón se debiera realmente a la rotación alrededor de su propio eje, entonces el un punto en el ecuador se estaría moviendo con una velocidad mayor que la de la luz. Y en cualquier caso si el electrón no fuera una partícula puntual eso causaría todo tipo de problemas. Por último, no existe un "eje de rotación" definido para el espín, porque los tres componentes del momento angular de espín no conmutan entre sí.

Pero mi pregunta es: ¿puede relacionarse el espín con la velocidad de cambio de algo con respecto al tiempo? Puede que el espín no esté relacionado con la rotación en $\mathbb{R}^3$ ¿pero podemos relacionarlo con una rotación u otro tipo de movimiento en algún otro espacio, posiblemente un espacio no euclidiano? Un electrón puede tardar 720 grados en "girar" completamente, pero ¿existe realmente un periodo de tiempo en el que "gira" o hace otra cosa en 720 grados?

Dicho de otro modo, si una partícula tiene un estado de espín fijo, ¿tiene algún sentido decir que la partícula está "haciendo" algo, o simplemente "tiene" una propiedad?

EDIT: El teorema de Ehrenfest relaciona el valor de expectativa del operador de momento lineal con la tasa de cambio del valor de expectativa del operador de posición con respecto al tiempo. ¿Puede relacionarse el valor de expectativa del operador de momento angular de espín con la tasa de cambio del valor de expectativa de algún operador?

Answer 1

Cuando estudias la teoría de reprepesentación del grupo de poincare, una de las cosas que aprendes son los llamados grupitos o grupos de isotropía. Estos clasifican las representaciones del grupo de Poincare por un método llamado representaciones inducidas. Cuando se hace todo esto, al final se descubre que cada partícula masiva tiene un número cuántico que la hace bosónica o fermiónica. Ahora bien, dado que el grupo de Poincare simplemente codifica las transformaciones del espacio-tiempo, creo que podemos concluir que el espín es una propiedad que tiene una partícula. Después de todo, podríamos haber supuesto que sólo había una partícula en el universo, eliminando la posibilidad de que el espín estuviera relacionado con algo que le sucediera o con algo que hiciera.

Si quiere algo más físico, imagine que coloca un campo magnético cerca de un electrón en alguna dirección. El espín se acopla al campo magnético. Entonces en la esfera de bloch esto causa una precesión sobre el eje que se acopla al campo magnético. Concretamente, tomemos el hamiltoniano como $H =\sigma_z B_z $ donde $B_z$ es alguna constante relacionada con la fuerza del campo magnético entonces habrá precesión sobre la dirección espacial z. Esto se puede ver calculando $ \langle\sigma_x(t)\rangle \text{ and } \langle\sigma_y(t)\rangle $ .

Recuerde también que el cambio en el momento angular es par, pero el par requiere una noción de fuerza que no puede existir en la mecánica cuántica. Los valores de expectativa de los operadores de posición y momento se basan en su límite clásico. El espín cuántico no tiene límite clásico, que es el objetivo del experimento de Stern-Gerlach.

Answer 2

Me referiré principalmente a su última pregunta:

El teorema de Ehrenfest relaciona el valor de expectativa del operador de momento lineal con la tasa de cambio del valor de expectativa del operador de posición con respecto al tiempo. ¿Puede relacionarse el valor de expectativa del operador de momento angular de espín con la tasa de cambio del valor de expectativa de algún operador?

Bien, veamos qué obtenemos si aplicamos el teorema de Ehrenfest a una partícula de espín 1/2 en un campo magnético. La energía de interacción entre un dipolo magnético y un campo magnético B es

$$E = \mathbf µ· \mathbf B$$

donde $\mathbf µ$ el momento magnético, es un operador vectorial y viene dado por

$$\mathbf µ = \gamma \mathbf S$$

Aquí $\gamma$ es el relación giromagnética .

Todo esto es física clásica, pero yo diría que podemos extender las ecuaciones a la mecánica cuántica de forma sencilla. Si tomamos el espín como una matriz, entonces su Hamiltoniano es ( fuente de la derivación )

$$H=-\gamma \mathbf S·\mathbf B$$

Por ejemplo, si elegimos nuestro sistema de coordenadas de forma que $\mathbf B = B\mathbf k$ entonces

$$H=-\gamma BS_z=-\gamma B\frac{}{2}\sigma_z$$

donde $$\sigma_z=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}\right)$$

Aplicando el teorema se obtiene la tasa de variación de $\left\langle S_x \right\rangle$ ,

$$\displaystyle\dfrac{d\left\langle S_x \right\rangle}{dt}= \frac{1}{i\hbar}\langle\left[ S_x,H \right]\rangle = \omega \left\langle S_y \right\rangle$$

donde $\omega=-\gamma B$ es el Frecuencia de Larmor . La precesión de Larmor es la precesión del momento magnético de cualquier objeto con momento magnético en torno a un campo magnético externo. Según Wikipedia, el fenómeno es similar a la precesión de un giroscopio clásico inclinado en un campo gravitatorio externo (el par producido por el momento magnético es aquí análogo al par gravitatorio externo en el caso del giroscopio).

Para las tasas de variación de $\left\langle S_y \right\rangle$ y $\left\langle S_z \right\rangle$ obtenemos:

$$\displaystyle\dfrac{d\left\langle S_y \right\rangle}{dt}= - \omega \left\langle S_z \right\rangle, \displaystyle\dfrac{d\left\langle S_z \right\rangle}{dt}= 0 $$

Utilizando las propiedades de las matrices de Pauli, podemos escribir las ecuaciones anteriores de una manera más compacta:

$$\displaystyle\dfrac{d\left\langle \mathbf S \right\rangle}{dt}= \gamma \left\langle \mathbf S \right\rangle \times \mathbf B$$

Según Peter H. Holland La teoría cuántica del movimiento un análogo clásico para esta ecuación de movimiento precesional del vector de espín en un campo magnético (de hecho, la primera ecuación que deduce es más complicada, ya que incluye un "par cuántico"). En general, afirma (sección 9.3.3., ¿Existe un análogo clásico del espín? ):

Concluimos que el análogo clásico de los sistemas gobernados por la ecuación de Pauli es un conjunto de dipolos cargados y se pasa continuamente entre los dos regímenes variando la eficacia del potencial cuántico y del par. El objeto "giratorio" no desaparece en el límite, simplemente evoluciona de forma diferente.

Mi forma de verlo es que la dependencia temporal de los valores de expectativa del espín sigue la ecuación clásica de movimiento para el vector momento angular. Esta conclusión también se encuentra en este documento llamado Importancia del teorema de Ehrenfest en relación cuántico-clásica que además afirma:

En la medición magnética de neutrones y otros núcleos mediante la inducción nuclear método de inducción nuclear, Bloch* ha utilizado esencialmente estas clásicas prescindiendo de la ecuación de Schrödinger a partir del simple argumento basado en ET.

(*referencia)

Answer 3

Sin ninguna interacción, yo diría que la propiedad de espín no tiene sentido. Se manifiesta como un operador de inversión (con valores propios discretos negativos/positivos) a través de interacciones, como la del aparato de Stern-Gerlach. Pero la dependencia temporal del espín adquiere relevancia si un electrón interactúa continuamente con un campo electromagnético externo. Busque el Precesión de Larmor . Cuando se coloca un electrón en un campo magnético uniforme, el espín comienza a girar en la dirección determinada por el campo magnético. Para el caso más general en el que tenemos campos eléctricos y magnéticos uniformes, existe la ecuación de Bargmann-Michel-Telegdi (BMT) para la precesión del espín:

$$ \frac{ds^{\mu}}{d\tau}=\frac{e}{m}\left[\frac{g}{2} F^{\mu\nu}s_{\nu} +\left(\frac{g}{2}+1\right)u^{\mu}\left(S_{\lambda}F^{\lambda\nu} u_{\nu}\right)\right] $$ donde $\tau$ es el momento adecuado. Se supone que esta ecuación se resuelve de acuerdo con la ecuación clásica de fuerza de Lorentz: $$ \frac{du^{\mu}}{d\tau}=\frac{e}{m} F^{\mu\nu}u_{\nu} $$ La ecuación BMT es una ecuación clásica. En el sentido operativo, $s^{\mu}$ corresponde a la polarización de espín del electrón y la ecuación BMT da la velocidad de cambio a la que la polarización transversal se transforma en longitudinal y viceversa. Puede consultar papel para conocer los detalles.

Que yo sepa, no disponemos de un análogo mecánico cuántico de la ecuación BMT. Pero en las ecuaciones de movimiento de Heisenberg para los operadores, aparece el espín:

$$\begin{align} \frac{d x_{\mu}}{d\tau}=\Pi_{\mu} ,\qquad \Pi_{\mu}=p_{\mu}-\frac{e}{c}A_{\mu}(x)\\ \frac{d\Pi_{\mu}}{d\tau}=\frac{e}{c}F_{\mu\nu} -\frac{i e}{2c}\partial_{\nu} F_{\mu\nu} + \frac{e}{4c}\sigma_{\lambda\nu}\,\partial_{\nu}F_{\lambda\nu},\qquad \sigma_{\lambda\nu}=\frac{i}{2}\left[\gamma_{\lambda},\, \gamma_{\nu} \right] \end{align} $$ Estas ecuaciones se reducen a la ecuación de fuerza de Lorentz en el límite clásico. Por tanto, el espín del electrón no tiene ningún efecto sobre la trayectoria clásica. Pero en campos electromagnéticos intensos que muestran oscilaciones muy rápidas, el espín afecta a los valores de expectativa de los operadores.

Answer 4

(...) mi pregunta es, ¿puede relacionarse el espín con una tasa de cambio de algo con respecto al tiempo? Puede que el espín no esté relacionado con rotación en $\mathbb{R}_3$ pero ¿podemos relacionarlo con una rotación u otro tipo de movimiento en algún otro espacio, posiblemente un espacio no euclidiano?

En realidad depende de lo que se entienda por "cambio de algo con respecto al tiempo", pero la respuesta general es no no de la forma en que usted probablemente lo piensa.

No porque no es correcto pensar en la momento angular de giro ( SAM ) de una partícula como debida a cualquier tipo de "rotación" u otro "movimiento" en cualquier espacio (de Hilbert). Un electrón con espín $+1/2$ es no girando, ni cambiando, por el único hecho de tener un SAM. De hecho, si no hay influencias externas que actúen sobre el electrón, dicho estado de espín (o cualquier otro estado de espín para el caso) será un estado propio del sistema, lo que significa que por definición es estacionario nada tiene que "moverse" para que ese electrón posea tal SAM.

Si así fuera, significaría que el espín no es realmente un número cuántico "fundamental", sino sólo una "característica" de alguna propiedad más fundamental. Es importante señalar que un argumento similar también es válido para orbital Momento angular: una partícula (o partícula compuesta, o cualquier otro tipo de estado cuántico) con un momento angular orbital definido. no es necesariamente algo que pueda considerarse como "girar alrededor": una partícula individual con una función de onda espacial adecuadamente estructurada puede tener un momento angular orbital definido y, sin embargo, no estar girando en ningún sentido de la palabra (por otra parte, es cierto que el momento angular orbital es generalmente una característica del perfil espacial de la función de onda y, por tanto, en este sentido no es una propiedad fundamental del sistema).

Nos gusta imaginarnos a los electrones de los átomos "girando" alrededor del núcleo, pero esa imagen es tan errónea como la de un espín girando: los electrones (o mejor dicho, los sistemas núcleo+electrón) están en un estado estacionario lo que significa que nada cambia con respecto al tiempo . Sin embargo, la diferencia en estos casos es que el número cuántico del momento angular orbital está completamente escrito en la estructura de la función de onda espacial, por lo que no es en absoluto una propiedad intrínseca de las partículas.

Sí En el sentido de que, por supuesto, el estado de espín puede estar cambiando con respecto al tiempo, u otras propiedades de la partícula pueden estar cambiando con respecto al tiempo dependiendo de su estado de espín. Ponga un electrón en un campo magnético apropiado y lo verás moverse en un sentido u otro en función de su estado de giro. O la propia dirección del espín puede girar con una frecuencia angular fija, como qué ocurre con los núcleos en una máquina de RMN .

¡Pero SAM se parece tanto a un momento angular normal!

¿Es así? ¿Piensas que un solo fotón con un valor definido de la polarización gira? Probablemente no, ¡pero debería! La "polarización" de la luz no es más que un nombre diferente para la gire de fotones. Sin embargo, en el caso de los fotones la mayoría de la gente no parece tener tantas dificultades para ver la polarización como algo ajeno a una especie de rotación.

¿Puede relacionarse el valor de expectativa del operador SAM con la tasa de cambio del valor de expectativa de algún operador "clásicamente interpretable"?

¡No! La única forma de que esto tenga sentido es la existencia de un "equivalente clásico" de SAM. No existe tal cosa . ¿Por qué? Sencillamente, porque no la hay: en realidad, los objetos clásicos sólo se caracterizan por la posición y el momento.

¿Pero qué pasa con el teorema de Ehrenfest?

¿Qué te parece? Claro que se puede aplicar, en su forma general indicando la relación entre la variación del valor de expectativa de un operador y el valor de expectativa del conmutador del operador con el Hamiltoniano: $$ \frac{d}{dt}\langle A \rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [ A, H] \rangle, $$ para cualquier operador $A$ medir una propiedad intrínseca (es decir, independiente del tiempo) de una partícula. Si se toma $A=S_z$ o algún otro componente del espín, se obtendrá una expresión para la tasa de variación del valor medio del SAM en el sistema particular considerado. Si se trata de un electrón en un campo electromagnético obtendremos una expresión para la variación temporal de $\langle S_z \rangle$ con respecto al campo electromagnético concreto aplicado, que dirá cómo evoluciona el espín de la partícula, pero no mucho más. Si en lugar de eso quieres encontrar algún operador $A$ tal que $$ \frac{d}{dt}\langle A \rangle \simeq \langle S_z \rangle, $$ probablemente puedas encontrarlo: necesitas encontrar un sistema descrito por un Hamiltoniano $H$ tal que existe un operador $B$ tal que $[A,H] \simeq S_z$ . No veo razones para que esto no sea posible, pero difícilmente te dará una idea de la naturaleza de SAM, ya que dependerá en gran medida del sistema particular que estés considerando. De hecho, no deberías pensar en el teorema de Ehrenfest como algo que da una conexión general entre la mecánica clásica y la cuántica, ya que no es más que un forma alternativa y equivalente de plantear la ecuación de Schrödinger .

Pero entonces, ¿por qué el momento angular de espín está tan estrictamente relacionado con el momento angular orbital?

Porque el objeto cuántico "correspondiente" al momento angular clásico es el total operador de momento angular, $\boldsymbol J = \boldsymbol L + \boldsymbol S$ . Esto es consecuencia del hecho de que el Lagrangiano que describe las interacciones entre las distintas partículas sólo preserva el momento angular total, no singularmente los componentes de espín u orbitales del mismo. Esto no es tan antinatural como puede parecer a primera vista. Pensemos, por ejemplo, en la función de onda tridimensional de un fotón o un electrón. Aunque estamos acostumbrados a pensar que una partícula de este tipo tiene algún valor de SAM, en general tendremos una amplitud de probabilidad de que la partícula tenga un valor de SAM para cada punto de la función de onda (o dicho de forma equivalente, entrelazamiento entre SAM y posición). El operador SAM $\boldsymbol S$ actúa sobre dicha función de onda rotando los grados de libertad de SAM en cada punto del espacio, dejando inalterada la distribución espacial de la amplitud . El operador de momento angular orbital $\boldsymbol L$ por otro lado, rota la distribución espacial de las amplitudes, manteniendo intacto el grado de libertad de espín asociado a cada punto. Ahora bien, ¿por qué todo este complicado embrollo debería ser invariante cuando se aplica sólo una de estas dos operaciones? De hecho, en el caso general no lo será: tendrás que rotar la distribución espacial y los grados de libertad internos en consecuencia para obtener la misma estructura.

Answer 5

Esto no es una respuesta en sí, porque ¿por qué habría de serlo? No existe una idea clara de a qué debe asemejarse el espín de una partícula. Esta pregunta se ha planteado hasta la saciedad y se ha reciclado y reformulado de tantas maneras diferentes que, francamente, ya cansa. O puede que yo sea demasiado negativo.

Extracto de la descripción de Uhlenbeck y Goudsmith de la cuenta de donde proponen que tiene el espín de un electrón $\pm \frac{1}{2}$ .

[...] Lorentz nos recibió con su conocida gran amabilidad, y se mostró muy interesado, aunque, creo, también algo escéptico. Prometió reflexionar. Y de hecho, ya la semana siguiente nos entregó un manuscrito, escrito con su hermosa letra, que contenía largos cálculos sobre las propiedades electromagnéticas de los electrones en rotación. No podíamos entenderlo del todo, pero estaba bastante claro que la imagen del electrón giratorio, si se tomaba en serio, daría lugar a serias dificultades. Para empezar, la energía magnética sería tan grande que, por equivalencia de masa y energía, el electrón tendría una masa mayor que el protón o, si nos atenemos a la masa conocida, ¡el electrón sería más grande que el átomo entero! En cualquier caso, parecía un disparate.

Es muy probable que lo hayas leído, pero esto es sólo para mostrar a la gente que cualquier intento de "describir" el spin como "algo" llevaría a reducirlo a cenizas por la gente que se dedica a la reductio ad absurdum. Simplemente levantamos las manos y decimos que para bien o para mal el espín es algo parecido a ....., como la masa o la carga que una partícula "simplemente tiene".